Seja
uma função real definida em (
) satisfazendo
e
Mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá uma função real
definida em
que satisfaz duas propriedades. Vou listar com clareza o que o problema pede e o que é dado:
-
Dados:e
-
Pedido: mostrar que
Nada mais será assumido; a resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro fato simples e útil: avaliando a igualdade funcional em
obtemos
ou seja
Subtraindo
de ambos os lados resulta
Passo 3
Mostro agora propriedades de homogeneidade para potências inteiras. Para
(inteiro positivo) aplico recursão:
Pela indução isso dá
Para inteiros negativos
usamos
e a relação com
para obter
portanto a fórmula vale para todo
:
Passo 4
Agora estendo para racionais. Seja
um racional com
e
. Note que para
existe a raiz
e vale
. Aplicando o resultado do passo anterior:
Mas
e, por outro lado,
Dividindo por
vem
Assim, para todo racional
temos
Passo 5
Uma mudança de variável muito útil: defino a função
por
Essa definição faz sentido porque
para todo
. Vou ver qual equação funcional
satisfaz. Para
,
Portanto
é aditiva:
Além disso, do passo 2,
.
Passo 6
Agora conecto a condição de limite dada com a derivada de
em
. A condição original é
Faço a mudança
, que vai a
quando
. Então, para
,
Pelo limite dado, o primeiro fator tende a
quando
. O segundo fator tende a
também, porque
(teste padrão da exponencial). Portanto
Mas
, logo
ou seja,
é derivável em
e
Em particular
é contínua em
.
Passo 7
Vou usar agora um fato fundamental sobre a equação de Cauchy (função aditiva): se
satisfaz
para todo
e é contínua em um ponto (aqui em
), então
é linear, isto é, existe
tal que
Vou provar esse fato de forma direta e explicada:
- Para inteiros
temos por indução . - Para inteiros negativos a mesma relação vale, então para
temos . - Para racionais
com , usando aditividade , logo . - Assim
coincide com a função em . - Como
é contínua em , pela aditividade ela é contínua em todo ponto: para qualquer , então contínua em contínua em . - Qualquer número real
pode ser aproximado por racionais . Pela continuidade,
Portanto
com
. Outro modo de ver o valor de
é usar
: se
então
. Como no passo anterior encontramos
, segue que
.
Passo 8
Da conclusão do passo anterior temos
Voltando à definição de
, isto significa
Passo 9
Finalmente, para qualquer
existe
tal que
. Substituindo
na identidade anterior obtemos
Isso vale para todo
.