Seja lang<=,$\rangle um produto interno no espaço vetorial V e assuma que rang<= um produto interno no espaço vetorial V e assuma que seja uma norma induzida por seja uma norma induzida por , , as seguintes igualdades:
(Identidade Pitagórica) Se as seguintes igualdades: (Identidade Pitagórica) Se , então , então .

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Temos um produto interno lang<= cdot , cdot rang<= em um espaço vetorial V e uma norma |cdot| definida a partir desse produto interno. O exercício pede para mostrar que, se dois vetores u e v são ortogonais (ou seja, u perp v), então a norma do vetor u + v ao quadrado é igual à soma das normas de u e v ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal, como a norma está relacionada ao produto interno e como calcular a norma de uma soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a norma está definida a partir do produto interno. A norma de um vetor w é dada por:
|w| = raizlang<= w, w rang<=
Isso significa que a norma ao quadrado é:
|w|^2 = lang<= w, w rang<=

Passo 3

Queremos calcular a norma de u + v ao quadrado, ou seja, |u + v|^2. Usando a definição da norma, temos:
|u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<=

Passo 4

Agora, vamos expandir o produto interno lang<= u + v, u + v rang<= usando as propriedades do produto interno, que são a linearidade em cada argumento. Isso nos dá:
lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=

Passo 5

Sabemos que lang<= u, u rang<= = |u|^2 e lang<= v, v rang<= = |v|^2. Além disso, o produto interno é simétrico, ou seja, lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.

Passo 6

Como u perp v, por definição, isso significa que lang<= u, v rang<= = 0. Portanto, os termos lang<= u, v rang<= e lang<= v, u rang<= na expressão expandida são ambos iguais a zero.

Passo 7

Substituindo essas informações na expressão expandida, temos:
|u + v|^2 = |u|^2 + 0 + 0 + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Resposta

Portanto, se u perp v, então |u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2.

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