Seja
,$\rangle um produto interno no espaço vetorial V e assuma que
seja uma norma induzida por
,
as seguintes igualdades:
(Identidade Pitagórica) Se
, então
.
(Identidade Pitagórica) Se
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema. Temos um produto interno
em um espaço vetorial
e uma norma
definida a partir desse produto interno. O exercício pede para mostrar que, se dois vetores
e
são ortogonais (ou seja,
), então a norma do vetor
ao quadrado é igual à soma das normas de
e
ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal, como a norma está relacionada ao produto interno e como calcular a norma de uma soma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a norma está definida a partir do produto interno. A norma de um vetor
é dada por:
Isso significa que a norma ao quadrado é:
Passo 3
Queremos calcular a norma de
ao quadrado, ou seja,
. Usando a definição da norma, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir o produto interno
usando as propriedades do produto interno, que são a linearidade em cada argumento. Isso nos dá:
Passo 5
Sabemos que
e
. Além disso, o produto interno é simétrico, ou seja,
.
Passo 6
Como
, por definição, isso significa que
. Portanto, os termos
e
na expressão expandida são ambos iguais a zero.
Passo 7
Substituindo essas informações na expressão expandida, temos:
Resposta
Portanto, se
, então
.