Seja V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-y+z=0\right\} um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
(a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para V.
(b) Determine V^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x - y + z = 0\}
e pede:
(a) uma base ortonormal de V no produto interno usual em \mathbb{R}^3;
(b) o complemento ortogonal V^\perp.

Passo 2

Como V é o plano cujos vetores satisfazem x-y+z=0, um vetor normal a V é
\mathbf{n}=(1,-1,1).
Logo, para todo \mathbf{v}\in V vale
\langle \mathbf{v},\mathbf{n}\rangle =0,
e temos imediatamente
V^\perp = \Span\{\mathbf{n}\}.

Passo 3

Para obter a primeira direção em V, escolhemos
\mathbf{u}_1=(1,1,0),
pois
\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{n}\rangle =1\cdot1 +1\cdot(-1)+0\cdot1 =0,
então \mathbf{u}_1\in V. Sua norma é
\|\mathbf{u}_1\| = \sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2,
portanto o primeiro vetor ortonormal é
\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} = \Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\,\tfrac1{\sqrt2},\,0\Bigr).

Passo 4

Para achar um segundo vetor em V ortogonal a \mathbf{e}_1, podemos usar o produto vetorial
\mathbf{u}_2 = \mathbf{n}\times \mathbf{u}_1 = (1,-1,1)\times(1,1,0) = (-1,\,1,\,2).
Verifica-se que \mathbf{u}_2 é ortogonal a \mathbf{n} (logo em V) e a \mathbf{u}_1. Sua norma é
\|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt6,
assim o segundo vetor ortonormal é
\mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} = \Bigl(-\tfrac1{\sqrt6},\,\tfrac1{\sqrt6},\,\tfrac2{\sqrt6}\Bigr).

Passo 5

Já vimos que
V^\perp = \Span\{(1,-1,1)\}.
Uma forma ortonormal de gerar V^\perp é normalizar \mathbf{n}:
\mathbf{e}_3 = \frac1{\|\mathbf{n}\|}\,(1,-1,1) = \Bigl(\tfrac1{\sqrt3},\,-\tfrac1{\sqrt3},\,\tfrac1{\sqrt3}\Bigr).

Resposta

(a) Uma base ortonormal de V é
\Bigl\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\Bigr\} = \Bigl\{\,( \tfrac1{\sqrt2},\,\tfrac1{\sqrt2},\,0 ),\;(-\tfrac1{\sqrt6},\,\tfrac1{\sqrt6},\,\tfrac2{\sqrt6})\Bigr\}.
(b) O complemento ortogonal é
V^\perp = \Span\{(1,-1,1)\},
por exemplo gerado ortonormalmente por \bigl(\tfrac1{\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\bigr).

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