Seja
um subespaço de
.
(a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para
.
(b) Determine
.
(a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para
(b) Determine
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede:
(a) uma base ortonormal de no produto interno usual em
;
(b) o complemento ortogonal .
(a) uma base ortonormal de
(b) o complemento ortogonal
Passo 2
Como
é o plano cujos vetores satisfazem
, um vetor normal a
é
Logo, para todo
vale
e temos imediatamente
Passo 3
Para obter a primeira direção em
, escolhemos
pois
então
. Sua norma é
portanto o primeiro vetor ortonormal é
Passo 4
Para achar um segundo vetor em
ortogonal a
, podemos usar o produto vetorial
Verifica-se que
é ortogonal a
(logo em
) e a
. Sua norma é
assim o segundo vetor ortonormal é
Passo 5
Já vimos que
Uma forma ortonormal de gerar
é normalizar
:
Resposta
(a) Uma base ortonormal de
é
(b) O complemento ortogonal é
por exemplo gerado ortonormalmente por
.