Seja
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-2 y+z=0\right\} .
Verifique se W é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+z=0\right\}
e pede para verificar se W é um espaço vetorial (isto é, se com as operações usuais de \mathbb{R}^3 ele satisfaz as propriedades necessárias).
Informações dadas:
  • W é um subconjunto de \mathbb{R}^3.
  • A condição que descreve W é a equação linear \,x-2y+z=0.

Passo 2

Estratégia: como W é um subconjunto de \mathbb{R}^3 e as operações são as usuais, basta mostrar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Um critério prático e bem usado para isso é verificar três propriedades simples:
  1. W não é vazio (por exemplo, contém o vetor nulo).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in W.
Justificativa curta do porquê: todas as demais propriedades de espaço vetorial (associatividade, comutatividade, existência de inverso aditivo etc.) já valem em \mathbb{R}^3; se o subconjunto contém o zero e é fechado sob soma e produto por escalar, essas propriedades são herdadas, então o subconjunto é subespaço.

Passo 3

Verificar que W não é vazio: verificar se o vetor nulo (0,0,0) pertence a W.
Calcule a expressão na condição:
0 - 2\cdot 0 + 0 = 0.
Como a igualdade é satisfeita, (0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio e contém o vetor nulo.

Passo 4

Fechamento por adição (passo a passo):
  • Tome u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Isso significa que
x_1 - 2y_1 + z_1 = 0 \qquad\text{e}\qquad x_2 - 2y_2 + z_2 = 0.
  • Considere a soma u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
  • Avalie a expressão que define W para u+v:
(x_1+x_2) - 2(y_1+y_2) + (z_1+z_2).
  • Agrupando termos:
(x_1 - 2y_1 + z_1) + (x_2 - 2y_2 + z_2).
  • Como cada par entre parênteses vale 0 (pela hipótese que u,v\in W), a soma é 0+0=0. Logo
(x_1+x_2) - 2(y_1+y_2) + (z_1+z_2)=0,
ou seja, u+v\in W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar (passo a passo):
  • Tome u=(x,y,z)\in W e c\in\mathbb{R}. Pela hipótese,
x - 2y + z = 0.
  • Considere c\,u = (c x,\; c y,\; c z).
  • Avalie a expressão que define W para c\,u:
(c x) - 2(c y) + (c z) = c\,(x - 2y + z).
  • Como x - 2y + z = 0, obtemos c\,(x - 2y + z)=c\cdot 0 = 0. Portanto
(c x) - 2(c y) + (c z)=0,
ou seja, c\,u\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Observação alternativa (útil para entender a estrutura): defina a aplicação linear
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\qquad f(x,y,z)=x-2y+z.
Então W é exatamente o núcleo de f, isto é W=\ker(f). Como o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial, isso dá outra justificativa rápida de que W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 7

Resumo das verificações: W contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Pelo critério de subespaço, W herda as demais propriedades de espaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 (portanto é um espaço vetorial).