Seja
Verifique se
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é um espaço vetorial (isto é, se com as operações usuais de
ele satisfaz as propriedades necessárias).
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um subconjunto de . - A condição que descreve
é a equação linear .
Passo 2
Estratégia: como
é um subconjunto de
e as operações são as usuais, basta mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Um critério prático e bem usado para isso é verificar três propriedades simples:
-
não é vazio (por exemplo, contém o vetor nulo). -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Justificativa curta do porquê: todas as demais propriedades de espaço vetorial (associatividade, comutatividade, existência de inverso aditivo etc.) já valem em
; se o subconjunto contém o zero e é fechado sob soma e produto por escalar, essas propriedades são herdadas, então o subconjunto é subespaço.
Passo 3
Verificar que
não é vazio: verificar se o vetor nulo
pertence a
.
Calcule a expressão na condição:
Calcule a expressão na condição:
Como a igualdade é satisfeita,
. Portanto
não é vazio e contém o vetor nulo.
Passo 4
Fechamento por adição (passo a passo):
- Tome
e . Isso significa que
- Considere a soma
. - Avalie a expressão que define
para :
- Agrupando termos:
- Como cada par entre parênteses vale
(pela hipótese que ), a soma é . Logo
ou seja,
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação escalar (passo a passo):
- Tome
e . Pela hipótese,
- Considere
. - Avalie a expressão que define
para :
- Como
, obtemos . Portanto
ou seja,
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Observação alternativa (útil para entender a estrutura): defina a aplicação linear
Então
é exatamente o núcleo de
, isto é
. Como o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial, isso dá outra justificativa rápida de que
é subespaço de
.
Passo 7
Resumo das verificações:
contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Pelo critério de subespaço,
herda as demais propriedades de espaço vetorial de
.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
(portanto é um espaço vetorial).