Seja 
 , mostre duas matrizes 
  e 
 , tais que 
  e 
 .
Passo 1
Olha, a gente tem uma matriz 
  e precisa encontrar duas matrizes diferentes 
  e 
  que, quando multiplicadas por 
 , dão o mesmo resultado: 
 . Isso envolve entender um pouco sobre multiplicação de matrizes e espaços nulos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 
 . Podemos reescrever isso como:
Isso nos diz que a matriz 
  deve estar no espaço nulo de 
 , ou seja, 
  deve ser uma matriz que, ao ser multiplicada por 
 , resulta na matriz zero.
Passo 3
Para encontrar tais matrizes 
  e 
 , precisamos primeiro descobrir o espaço nulo de 
 . Vamos resolver 
 , onde 
  é uma matriz 
 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Notamos que a segunda linha é 3 vezes a primeira, então só precisamos resolver a primeira equação:
Assim, qualquer matriz no espaço nulo de 
  tem a forma:
onde 
  e 
  podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Agora, queremos que 
 . Podemos escolher uma matriz 
  não nula no espaço nulo para garantir que 
 . Vamos escolher, por exemplo:
Então, podemos definir 
  como uma matriz qualquer e 
 .
Passo 5
Vamos escolher uma matriz 
  simples, por exemplo:
Então, 
Passo 6
Vamos verificar se 
 :
Como 
  e 
 , encontramos as matrizes que queríamos.
Resposta
Duas matrizes que satisfazem 
  e 
  são: