Seja M=integral0^2 pi integral0^pi4 integral0^2 sec phi rho^3 sen phiraiz1+rho^2 d rho d phi d theta a massa de uma região sólida S. Escreva (sem calcular) M como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais triplas em coordenadas esféricas. A gente precisa pegar essa massa que está dada em coordenadas esféricas e reescrever ela usando coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos precisar entender como converter coordenadas esféricas para cartesianas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas e cartesianas. Nas coordenadas esféricas, temos x = rho sin phi cos theta , onde:
  • y = rho sin phi sin theta é a distância do ponto até a origem.
  • z = rho cos phi é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z.
  • dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy.
Nas coordenadas cartesianas, usamos . A relação entre elas é:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da massa M = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2 sec phi rho^3 sin phiraiz1+rho^2 , drho , dphi , dtheta :
rho = raizx^2 + y^2 + z^2
Queremos reescrever isso em coordenadas cartesianas. Primeiro, identificamos que a função integranda sin phi = raizx^2 + y^2rho precisa ser expressa em termos de rho^3 sin phiraiz1+rho^2 = rho^3 cdot raizx^2 + y^2rhoraiz1+rho^2 = rho^2 raizx^2 + y^2raiz1+rho^2 . Sabemos que:
Então, substituindo:
Mas em coordenadas cartesianas, o elemento de volume .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas. Observando os limites originais:
  • varia de a , o que cobre todo o círculo no plano xy.
  • varia de a , limitando o ângulo polar.
  • varia de a .
Em coordenadas cartesianas, isso determina uma região específica no espaço. Mas como o exercício pede apenas para escrever a integral sem calcular, podemos deixar os limites gerais.

Resposta

M = integral triplaS (x^2 + y^2 + z^2) raizx^2 + y^2raiz1 + x^2 + y^2 + z^2 , dx , dy , dz

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