Seja M_{2}(\mathbb{Z})=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a, b, c, d \in \mathbb{Z}\right\} e \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}r & s \\\ t & u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a r+b t & a s+b u \\\ c r+d t & c s+d u\end{array}\right).
(a) Verifique que \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) é uma identidade para \times.
(b) Mostre que \left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 2 & 3\end{array}\right) não possui inverso.
(c) Seja G=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a d-b c=1\right\}. Mostre que ( G, \times ) é um grupo com inverso dado por \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right). Este grupo é abeliano?

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto M_{2}(\mathbb{Z}) de todas as matrizes 2\times2 com entradas inteiras e a operação \times que é a multiplicação usual de matrizes:
\left(\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}r & s\\\ t & u\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}ar+bt & as+bu\\\ cr+dt & cs+du\end{array}\right).
O que o problema pede:
(a) Verificar que \displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right) é elemento neutro para \times.
(b) Mostrar que \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3\\[4pt]2 & 3\end{array}\right) não possui inverso em M_{2}(\mathbb{Z}) relativamente à operação \times.
(c) Definido G=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b\\[4pt]c & d\end{array}\right)\in M_{2}(\mathbb{Z}) \mid ad-bc=1\right\}, mostrar que (G,\times) é um grupo, com inverso proposto
\left(\begin{array}{cc}a & b\\[4pt]c & d\end{array}\right)^{-1} =\left(\begin{array}{cc}d & -b\\[4pt]-c & a\end{array}\right),
e responder se o grupo é abeliano.
Dados listados que usarei: fórmula do determinante para 2\times2 é \det\left(\begin{smallmatrix}a&b\\\ c&d\end{smallmatrix}\right)=ad-bc. A operação é a multiplicação usual de matrizes apresentada acima.]

Passo 2

(a) Verificar identidade.
Seja E=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{smallmatrix}\right) e seja uma matriz arbitrária A=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{smallmatrix}\right)\in M_{2}(\mathbb{Z}). Vamos calcular E\times A usando a definição:
E\times A = \left(\begin{array}{cc}1&0\\[4pt]0&1\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot a+0\cdot c & 1\cdot b+0\cdot d\\[4pt] 0\cdot a+1\cdot c & 0\cdot b+1\cdot d \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right)=A.
Agora A\times E:
A\times E = \left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}1&0\\[4pt]0&1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} a\cdot1+b\cdot0 & a\cdot0+b\cdot1\\[4pt] c\cdot1+d\cdot0 & c\cdot0+d\cdot1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right)=A.
Portanto E é identidade à esquerda e à direita: é o elemento neutro para \times.]

Passo 3

(b) Mostrar que A=\left(\begin{smallmatrix}2&3\\[4pt]2&3\end{smallmatrix}\right) não possui inverso.
Primeiro calcule o determinante de A. Para uma matriz 2\times2 \left(\begin{smallmatrix}a&b\\\ c&d\end{smallmatrix}\right) temos \det=\;ad-bc. Aplicando a A:
\det(A)=2\cdot3-3\cdot2=6-6=0.
Explicação do porquê isso impede inverso: para matrizes 2\times2 existe uma fórmula explícita do inverso quando o determinante é não nulo:
\left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right)^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\[4pt]-c&a\end{array}\right), \quad\text{desde que }ad-bc\neq0.
Se \det(A)=0, a expressão acima não está definida (divisão por zero) e, geometricamente/linearmente, as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes (aqui as duas linhas são iguais), de modo que não existe matriz B tal que AB=BA=E. Portanto A não possui inverso em M_{2}(\mathbb{Z}).]

Passo 4

(c) Mostrar que G=\{\,\left(\begin{smallmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{smallmatrix}\right)\in M_2(\mathbb{Z})\mid ad-bc=1\,\} é grupo.
Vou verificar os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.
Passo (c.1) — Fechamento:Sejam
A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right)\quad\text{e}\quad R=\left(\begin{array}{cc}r&s\\[4pt]t&u\end{array}\right)
com \det(A)=ad-bc=1 e \det(R)=ru-st=1. Calcule \det(A\times R). Primeiro escrevemos A\times R via definição:
A\times R = \left(\begin{array}{cc}ar+bt & as+bu\\[4pt]cr+dt & cs+du\end{array}\right).
O determinante é
\begin{aligned} \det(A\times R) &=(ar+bt)(cs+du)-(as+bu)(cr+dt)\\[4pt] &=ar\cdot cs + ar\cdot du + bt\cdot cs + bt\cdot du \\\ &\quad -\big(as\cdot cr + as\cdot dt + bu\cdot cr + bu\cdot dt\big). \end{aligned}
Agrupando termos semelhantes e simplificando (usar com cuidado a comutatividade e distributividade em \mathbb{Z}) obtemos, após cancelamentos,
\det(A\times R)=(ad-bc)(ru-st).
Como ad-bc=1 e ru-st=1, segue \det(A\times R)=1. Além disso, as entradas de A\times R são combinações inteiras de a,b,c,d,r,s,t,u, logo são inteiros. Portanto A\times R\in G. Assim G é fechado sob \times.
Passo (c.2) — Associatividade: A operação \times é a multiplicação usual de matrizes com entradas em \mathbb{Z}. A associatividade decorre da associatividade da multiplicação e da adição em \mathbb{Z} e pode ser verificada calculando (A\times R)\times S e A\times(R\times S) e observando que as somas de produtos ficam iguais por reagrupamento. Como isso é uma propriedade geral da multiplicação matricial, aceitamos que \times é associativa.
Passo (c.3) — Elemento neutro: Já mostrei no Passo 2 que E=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{smallmatrix}\right) é identidade. Além disso \det(E)=1, logo E\in G.
Passo (c.4) — Existência de inversos: Seja A=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{smallmatrix}\right)\in G, então \det(A)=ad-bc=1\neq0. A fórmula do inverso para matrizes 2\times2
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\[4pt]-c&a\end{array}\right).
Como ad-bc=1, obtemos exatamente
A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}d&-b\\[4pt]-c&a\end{array}\right).
Note que as entradas de A^{-1} são inteiras porque a,b,c,d\in\mathbb{Z}. Verificação direta de que este é o inverso:
\begin{aligned} A\times A^{-1} &= \left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}d&-b\\[4pt]-c&a\end{array}\right)\\[4pt] &= \left(\begin{array}{cc} ad+b(-c) & a(-b)+b a\\[4pt] cd+d(-c) & c(-b)+d a \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} ad-bc & -ab+ab\\[4pt] cd-dc & -cb+da \end{array}\right)\\[4pt] &= \left(\begin{array}{cc} ad-bc & 0\\[4pt] 0 & ad-bc \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&0\\[4pt]0&1\end{array}\right), \end{aligned}
onde no último passo usamos ad-bc=1. Portanto A^{-1} pertence a G e é o inverso de A.
Com fechamento, associatividade, identidade e inversos verificados, concluímos que (G,\times) é um grupo.]

Passo 5

O inverso dado é exatamente
\left(\begin{array}{cc}a&b\\[4pt]c&d\end{array}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc}d&-b\\[4pt]-c&a\end{array}\right),
porque a divisão por ad-bc é divisão por 1 no caso de G.]

Passo 6

Determinar se G é abeliano (comutativo).
Para mostrar que o grupo não é abeliano basta um contraexemplo com duas matrizes de G tais que AB\neq BA. Considere
A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\[4pt]0&1\end{array}\right), \qquad B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\[4pt]1&1\end{array}\right).
Verifique que \det(A)=1\cdot1-1\cdot0=1 e \det(B)=1\cdot1-0\cdot1=1, logo A,B\in G.
Calcule A\times B:
A\times B = \left(\begin{array}{cc}1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot0+1\cdot1\\[4pt]0\cdot1+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2&1\\[4pt]1&1\end{array}\right).
Calcule B\times A:
B\times A = \left(\begin{array}{cc}1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot1\\[4pt]1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+1\cdot1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1&1\\[4pt]1&2\end{array}\right).
Como claramente
\left(\begin{array}{cc}2&1\\[4pt]1&1\end{array}\right) \neq \left(\begin{array}{cc}1&1\\[4pt]1&2\end{array}\right),
temos A\times B\neq B\times A. Logo G não é abeliano.]

Resposta

(a) \left(\begin{smallmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{smallmatrix}\right) é identidade para \times.
(b) \left(\begin{smallmatrix}2&3\\[4pt]2&3\end{smallmatrix}\right) não possui inverso (pois \det=0).
(c) (G,\times) é um grupo; para A=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{smallmatrix}\right)\in G tem-se
A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}d&-b\\[4pt]-c&a\end{array}\right).
O grupo não é abeliano.]