Agora pense no comportamento de |x|^{\alpha-1} quando x\to0:
Se \alpha-1>0, isto é, \alpha>1, então |x|^{\alpha-1}\to 0 quando x\to0.
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), como -|x|^{\alpha-1}\le \frac{f(x)}{x}\le |x|^{\alpha-1} e o extremo tende a 0, segue que
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0.
Logo, para \alpha>1 o limite existe e vale 0, isto é, f é derivável em 0 e f'(0)=0.
Passo 5
Agora analisamos o caso \alpha=1. Então, para x\neq0,
Se x>0: \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right).
Se x<0: \displaystyle\frac{f(x)}{x}=-\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right).
Se d=0, então \sin\!\left(d\frac{1}{x}\right)=0 sempre, e a função é identicamente zero; nesse caso f é derivável em 0 (na verdade em todo lugar) para qualquer \alpha. Então vamos separar o caso d=0 (trivial) do caso d\neq 0.
Suponha d\neq 0. Para mostrar que o limite não existe, basta encontrar duas sequências x_n\to0 em que \frac{f(x_n)}{x_n} têm limites diferentes. Escolhemos sequências que forcem o argumento do seno ser \pi/2+2\pi n (dá seno =1) e 3\pi/2+2\pi n (dá seno =-1):
então \sin(d/x_n^{(2)})=-1 e \frac{f(x_n^{(2)})}{x_n^{(2)}}=-1 (aqui os x_n^{(2)} também são positivos). Assim existem sequências que fazem o quociente tender a 1 e outras tender a -1; portanto o limite \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} não existe quando d\neq0 e \alpha=1. Conclusão: para \alpha=1 e d\neq0, f não é derivável em 0.
Passo 6
Agora o caso \alpha<1. Então \alpha-1<0, e |x|^{\alpha-1}\to+\infty quando x\to0. De novo, suponha d\neq0. Usando as mesmas sequências em que \sin(d/x)=1 (por exemplo x_n^{(1)} definidos acima), obtemos
porque a potência tem expoente negativo. Logo o quociente não tem limite finito (vai para infinito ao longo daquela sequência), e portanto f não é derivável em 0 quando \alpha<1 e d\neq0.
Passo 7
Resumo das conclusões, incluindo o caso especial d=0:
Se d=0, então \sin(d/x)=0 para todo x\neq0, logo f\equiv 0 e f é derivável em 0 para todo \alpha (com f'(0)=0).
Se d\neq 0, então:
Para \alpha>1: \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0 (pelo confronto), logo f é derivável em 0 e f'(0)=0.
Para \alpha\le 1: o limite \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} não existe (caso \alpha=1 oscila; caso \alpha<1 diverge), portanto f não é derivável em 0.
Resposta
Se d=0: f é derivável em 0 para todo \alpha (e f'(0)=0).\n
Se d\neq 0: f é derivável em 0 sse \alpha>1; neste caso f'(0)=0.