Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por: \[f(x)= \begin{cases}|x|^{\alpha} \sin \left(d \frac{1}{x}\right), & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{cases}
Para que valores de \alpha\] a função \(f é derivável em x=0 ?

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases}|x|^{\alpha} \sin\!\left(d\frac{1}{x}\right), & \text{se } x\neq 0,\\[4pt] 0, & \text{se } x=0,\end{cases}
onde \alpha\] e \(d são constantes reais. A pergunta é: para quais valores de \alpha a função f é derivável em x=0?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por duas peças: expressão para x\neq 0 e valor f(0)=0.
  • Há um parâmetro d dentro do seno; o enunciado não diz que d é zero ou não, portanto devemos considerar o caso geral e o caso especial d=0.
  • Queremos a derivabilidade em x=0, ou seja, existência de f'(0).]

Passo 2

Lembrete (definição que vamos usar): a derivada de f em 0 existe se e somente se o limite do quociente incremental existir e for finito:
\text{derivável em }0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \text{ existe (finito).}á
Aqui f(0)=0, então o quociente incremental simplifica para
\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x}.
Nossa tarefa é estudar o limite \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente o quociente para x\neq 0. Como f(x)=|x|^{\alpha}\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right), temos
\frac{f(x)}{x}=\frac{|x|^{\alpha}\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right)}{x}.
Podemos reescrever isso separando o sinal de x:
  • Se x>0: \displaystyle\frac{f(x)}{x}=x^{\alpha-1}\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right).
  • Se x<0: \displaystyle\frac{f(x)}{x}=-|x|^{\alpha-1}\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right), porque \frac{|x|}{x}=\operatorname{sign}(x)=-1.
Para estudar o limite, uma ferramenta útil é o valor absoluto:
\left|\frac{f(x)}{x}\right|=\left||x|^{\alpha-1}\cdot \operatorname{sign}(x)\cdot \sin\!\left(d\frac{1}{x}\right)\right| =|x|^{\alpha-1}\left|\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right)\right|.

Passo 4

Usamos a desigualdade conhecida \left|\sin t\right|\le 1 para todo t. Assim
\left|\frac{f(x)}{x}\right|\le |x|^{\alpha-1}\cdot 1 = |x|^{\alpha-1}.
Agora pense no comportamento de |x|^{\alpha-1} quando x\to0:
  • Se \alpha-1>0, isto é, \alpha>1, então |x|^{\alpha-1}\to 0 quando x\to0.
    Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), como -|x|^{\alpha-1}\le \frac{f(x)}{x}\le |x|^{\alpha-1} e o extremo tende a 0, segue que
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0.
Logo, para \alpha>1 o limite existe e vale 0, isto é, f é derivável em 0 e f'(0)=0.

Passo 5

Agora analisamos o caso \alpha=1. Então, para x\neq0,
  • Se x>0: \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right).
  • Se x<0: \displaystyle\frac{f(x)}{x}=-\sin\!\left(d\frac{1}{x}\right).
Se d=0, então \sin\!\left(d\frac{1}{x}\right)=0 sempre, e a função é identicamente zero; nesse caso f é derivável em 0 (na verdade em todo lugar) para qualquer \alpha. Então vamos separar o caso d=0 (trivial) do caso d\neq 0.
Suponha d\neq 0. Para mostrar que o limite não existe, basta encontrar duas sequências x_n\to0 em que \frac{f(x_n)}{x_n} têm limites diferentes. Escolhemos sequências que forcem o argumento do seno ser \pi/2+2\pi n (dá seno =1) e 3\pi/2+2\pi n (dá seno =-1):
Escolha
x_n^{(1)}=\frac{d}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\quad(\text{para }n\in\mathbb{N}),
então d/x_n^{(1)}=\frac{\pi}{2}+2\pi n e \sin(d/x_n^{(1)})=1. Como x_n^{(1)}>0 e x_n^{(1)}\to 0, temos
\frac{f(x_n^{(1)})}{x_n^{(1)}}=\sin\!\left(d\frac{1}{x_n^{(1)}}\right)=1\quad\text{para todo }n.
Agora escolha
x_n^{(2)}=\frac{d}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}\quad(\text{para }n\in\mathbb{N}),
então \sin(d/x_n^{(2)})=-1 e \frac{f(x_n^{(2)})}{x_n^{(2)}}=-1 (aqui os x_n^{(2)} também são positivos). Assim existem sequências que fazem o quociente tender a 1 e outras tender a -1; portanto o limite \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} não existe quando d\neq0 e \alpha=1. Conclusão: para \alpha=1 e d\neq0, f não é derivável em 0.

Passo 6

Agora o caso \alpha<1. Então \alpha-1<0, e |x|^{\alpha-1}\to+\infty quando x\to0. De novo, suponha d\neq0. Usando as mesmas sequências em que \sin(d/x)=1 (por exemplo x_n^{(1)} definidos acima), obtemos
\frac{f(x_n^{(1)})}{x_n^{(1)}}=|x_n^{(1)}|^{\alpha-1}\cdot 1 = (x_n^{(1)})^{\alpha-1}\to +\infty,
porque a potência tem expoente negativo. Logo o quociente não tem limite finito (vai para infinito ao longo daquela sequência), e portanto f não é derivável em 0 quando \alpha<1 e d\neq0.

Passo 7

Resumo das conclusões, incluindo o caso especial d=0:
  • Se d=0, então \sin(d/x)=0 para todo x\neq0, logo f\equiv 0 e f é derivável em 0 para todo \alpha (com f'(0)=0).
  • Se d\neq 0, então:
    • Para \alpha>1: \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0 (pelo confronto), logo f é derivável em 0 e f'(0)=0.
    • Para \alpha\le 1: o limite \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} não existe (caso \alpha=1 oscila; caso \alpha<1 diverge), portanto f não é derivável em 0.

Resposta

Se d=0: f é derivável em 0 para todo \alpha (e f'(0)=0).\n
Se d\neq 0: f é derivável em 0 sse \alpha>1; neste caso f'(0)=0.

Exercícios relacionados