Seja
uma função derivável até a segunda ordem e tal que, para todo
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é duas vezes diferenciável em
e satisfaz a equação diferencial
Queremos mostrar que a função
é constante, isto é, que
Para isso, vamos usar a regra do produto e a própria equação diferencial.
Passo 2
Aplicando a derivada em
via regra do produto, obtemos
Somando as duas partes:
Os termos em
se cancelam, ficando
Como
satisfaz
, concluímos que