Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x \in \mathbb{R}, f^{\prime \prime}(x)+4 f(x)=0. Prove que \frac{d}{d x}\left[f^{\prime}(x) \operatorname{sen} 2 x-2 f(x) \cos 2 x\right]=0.

Passo 1

O enunciado diz que f é duas vezes diferenciável em \mathbb{R} e satisfaz a equação diferencial
f''(x) + 4f(x) = 0.
Queremos mostrar que a função
G(x) = f'(x)\sin(2x) \;-\; 2\,f(x)\cos(2x)
é constante, isto é, que
\frac{d}{dx}G(x) = 0.
Para isso, vamos usar a regra do produto e a própria equação diferencial.

Passo 2

Aplicando a derivada em G(x) via regra do produto, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[f'(x)\sin(2x)\bigr] = f''(x)\,\sin(2x) + f'(x)\,2\cos(2x),
\frac{d}{dx}\bigl[-2f(x)\cos(2x)\bigr] = -2f'(x)\,\cos(2x) + (-2f(x))\,(-2\sin(2x)) = -2f'(x)\cos(2x) + 4f(x)\sin(2x).
Somando as duas partes:
\frac{d}{dx}G(x) = \bigl[f''(x)\sin(2x) + 2f'(x)\cos(2x)\bigr] + \bigl[-2f'(x)\cos(2x) + 4f(x)\sin(2x)\bigr].
Os termos em f'(x)\cos(2x) se cancelam, ficando
\frac{d}{dx}G(x) = f''(x)\sin(2x) + 4f(x)\sin(2x) = \bigl(f''(x) + 4f(x)\bigr)\sin(2x).
Como f satisfaz f''(x)+4f(x)=0, concluímos que
\frac{d}{dx}G(x) = 0.

Resposta

\frac{d}{dx}\bigl[f'(x)\sin(2x) - 2f(x)\cos(2x)\bigr] = 0.

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