1. Seja \mathcal{S} o espaço das funções reais que tem derivadas de todas as ordens e suponha que f \in \mathcal{S} seja uma combinação linear de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m} pertencentes a \mathcal{S}. Mostre que cada derivada f^{(j)} de f é uma combinação linear das correspondentes derivadas de f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m}. Use este resultado para provar que e^{x}, e^{2 x}, x, x^{2} são LI’s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \mathcal{S} é o espaço das funções reais com derivadas de todas as ordens.
  • Dado: f\in\mathcal{S} e existem escalares a_{1},\dots,a_{m} e funções f_{1},\dots,f_{m}\in\mathcal{S} tais que
f=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}.
  • Pedido 1: Mostrar que, para todo inteiro j\ge0, a j-ésima derivada de f satisfaz
f^{(j)}=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}^{(j)}.
  • Pedido 2: Usar esse resultado para provar que as funções \,e^{x},\,e^{2x},\,x,\,x^{2}\, são linearmente independentes (LI).

Passo 2

Provar que a derivada é linear (caso j=1) e depois estender para derivadas de ordem superior.
Lembra que a derivada é uma operação que satisfaz duas propriedades básicas para funções diferenciáveis g,h e escalar c:
  • (g+h)'=g'+h' (derivada do somatório é soma das derivadas);
  • (c\,g)'=c\,g' (constante sai da derivada).
A partir daí, se f=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}, aplicando a derivada de primeira ordem obtemos:
f'=\left(\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}\right)'=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}'.
Isso usa somente as duas propriedades acima (linearidade da derivada).

Passo 3

Estender para derivadas de ordem arbitrária por indução.
Base ( j=0): a fórmula é trivial porque f^{(0)}=f=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}^{(0)}.
Passo indutivo: suponha que para algum j\ge0 valha
f^{(j)}=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}^{(j)}.
Então aplicando a derivada uma vez mais, e usando a linearidade (caso j=1 já demonstrado) obtemos
f^{(j+1)}=\left(f^{(j)}\right)'=\left(\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}^{(j)}\right)'=\sum_{i=1}^{m}a_{i}f_{i}^{(j+1)}.
Portanto a propriedade vale para j+1. Por indução, vale para todo j\ge0.
Resumo didático: a derivada é um operador linear, e operadores lineares preservam combinações lineares em todas as ordens de derivação; por isso cada derivada de f é a mesma combinação linear das derivadas correspondentes de f_{1},\dots,f_{m}.

Passo 4

Agora usar o resultado para mostrar que \,e^{x},\,e^{2x},\,x,\,x^{2}\, são linearmente independentes.
Definição prática de linearmente independentes: funções g_{1},\dots,g_{n} são LI se a única forma de obter a função zero por combinação linear
\alpha_{1}g_{1}(x)+\cdots+\alpha_{n}g_{n}(x)\equiv 0\\ \text{(para todo \(x\))}
é com todos os escalares \alpha_{i}=0.
Suponha, para mostrar LI, que existam escalares A,B,C,D tais que, para todo x,
F(x):=A e^{x}+B e^{2x}+C x + D x^{2}\equiv 0.
Queremos mostrar A=B=C=D=0.
Pelo resultado do Passo 3, podemos derivar a combinação e as derivadas serão as combinações dos correspondentes. Vamos calcular F, F', F'', F''' e avaliar em x=0 (escolha prática porque as exponenciais em 0 valem 1 e polinômios simplificam).

Passo 5

Calcular as derivadas e avaliá-las em x=0.
Primeira, a função original em x=0:
F(0)=A e^{0}+B e^{0}+C\cdot 0 + D\cdot 0^{2}=A+B.
Como F\equiv0, segue
A+B=0. \tag{1}
Derivando uma vez:
F'(x)=A e^{x}+2B e^{2x}+C+2D x.
Avaliando em x=0:
F'(0)=A+2B+C=0. \tag{2}
Derivando duas vezes:
F''(x)=A e^{x}+4B e^{2x}+2D.
Avaliar em x=0:
F''(0)=A+4B+2D=0. \tag{3}
Derivando três vezes:
F'''(x)=A e^{x}+8B e^{2x}.
Avaliar em x=0:
F'''(0)=A+8B=0. \tag{4}
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas equações (1) (4) para A,B,C,D.

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo:
Da equação (1): A=-B.
Substituir em (4): (-B)+8B=0\Rightarrow 7B=0\Rightarrow B=0. Então A=-B=0.
Com A=B=0, a equação (2) fica 0+0+C=0\Rightarrow C=0.
Com A=B=0, a equação (3) fica 0+0+2D=0\Rightarrow D=0.
Portanto A=B=C=D=0. Isso mostra que a única combinação linear que dá a função zero é a combinação trivial.

Resposta

As funções e^{x},\,e^{2x},\,x,\,x^{2} são linearmente independentes.