Seja V=\mathrm{R}^{3}. Verificar quais dos seguintes conjuntos são LI ou LD.
u_{1}=(2,-1,4), u_{2}=(3,3,6), u_{3}=(2,10,-4)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores u_{1},u_{2},u_{3} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Os vetores dados são:
u_{1}=(2,-1,4),\qquad u_{2}=(3,3,6),\qquad u_{3}=(2,10,-4).

Passo 2

O que significa ser LI ou LD (explicação didática e prática para a prova).
  • Dizemos que os vetores u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema homogêneo
a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3}=0
for a=b=c=0. Caso exista uma solução não-trivial (alguma das constantes não é zero) então os vetores são linearmente dependentes.
  • Na prática, para três vetores em \mathbb{R}^{3} isso equivale a verificar se o único triplo (a,b,c) que anula todas as coordenadas é o triplo nulo. Vamos resolver esse sistema usando eliminação (método elementar, sem pular etapas).

Passo 3

Escrevendo o sistema coordenada a coordenada: se
a\,(2,-1,4)+b\,(3,3,6)+c\,(2,10,-4)=(0,0,0),
então, equacionando cada coordenada, obtemos o sistema linear homogêneo
\begin{cases} 2a+3b+2c=0,\\[4pt] -\,a+3b+10c=0,\\[4pt] 4a+6b-4c=0. \end{cases}
Em forma matricial (matriz dos coeficientes), isso é
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\\\ -1 & 3 & 10 \\\\ 4 & 6 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\[4pt] b\\[4pt] c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] 0\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora aplicamos eliminação por linhas (Gauss) sobre a matriz dos coeficientes para encontrar todas as soluções. Começamos com
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\\\ -1 & 3 & 10 \\\\ 4 & 6 & -4 \end{pmatrix}.
Realizo operações elementares que preservam o conjunto de soluções do sistema homogêneo:
  1. Multiplicar a segunda linha por 2 e somar à primeira linha é o mesmo que fazer duas operações invertíveis sucessivas; para ficar claro, faço os passos assim:
  • Primeiro, L_{2}\leftarrow 2L_{2} L_{2} = (-2,6,20).
  • Em seguida, L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1} (somar a linha 1 à linha 2) dá L_{2}=(0,9,22).
  1. Para zerar a primeira coluna da terceira linha faço L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1}:
L_{3}=(4,6,-4)-2(2,3,2)=(4,6,-4)-(4,6,4)=(0,0,-8).
Aplicando essas operações (escritas como efeito final nas linhas) obtemos a matriz triangular:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\\\ 0 & 9 & 22 \\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver a matriz triangular obtida é direto porque cada linha representa uma equação simples. Escrevendo as equações correspondentes:
  • A terceira linha dá -8c=0, então \;c=0.
  • Com c=0, a segunda linha dá 9b+22c=9b+0=0, então \;b=0.
  • Com b=0 e c=0, a primeira linha dá 2a+3b+2c=2a+0+0=0, então \;a=0.
Portanto a única solução do sistema homogêneo é a=b=c=0.

Passo 6

Interpretação final (como usar isso na prova).
  • Encontramos apenas a solução trivial para a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3}=0. Isso significa que não existe combinação linear não-trivial que anule os vetores; logo os três vetores são linearmente independentes.
  • Observação prática: em \mathbb{R}^{3} três vetores são LI exatamente quando a matriz com eles como colunas (ou linhas) tem posto 3. Aqui a redução mostrou posto 3. Outra forma rápida em exame é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores como colunas; se o determinante for diferente de zero, é LI. (Aqui a redução já mostrou que os pivôs são não nulos, equivalente a determinante não-nulo.)

Resposta

Os vetores u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes.