Seja A uma matriz n \times n. Mostre que se A^{k+1}=O então I-A é não singular e
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+\cdots+A^{k}

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n e uma potência nula
A^{k+1}=O,
onde O é a matriz zero n\times n. Pede para mostrar duas coisas:
  • que \,I-A\, é não singular (ou seja, invertível);
  • e que a inversa é
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+\cdots+A^{k}.

Passo 2

Vou lembrar definições básicas, devagarinho:
  • A matriz zero O é a matriz cujos todos os elementos são zero.
  • Uma matriz quadrada M é não singular (invertível) quando existe outra matriz N tal que
MN=NM=I,
onde I é a matriz identidade. Essa N é chamada de inversa de M e é única.
  • Propriedade usada sem prova detalhada: multiplicação de matrizes é distributiva sobre a soma e associativa, isto é, para matrizes compatíveis vale
X(Y+Z)=XY+XZ,\qquad (X+Y)Z=XZ+YZ,
e podemos agrupar produtos devido à associatividade.

Passo 3

Estratégia natural (inspiração na série geométrica): tentar como candidata à inversa de \,I-A\, a soma finita
S := I + A + A^{2} + \cdots + A^{k}.
Se eu mostrar que (I-A)S=I (ou S(I-A)=I), então S é a inversa e, portanto, \,I-A\, é não singular.

Passo 4

Calculemos (I-A)S expandindo por distributividade:
(I-A)S = I\cdot S - A\cdot S = S - A S.
Agora escrevendo S explicitamente e multiplicando por A:
S = I + A + A^{2} + \cdots + A^{k},
A S = A\cdot I + A\cdot A + A\cdot A^{2} + \cdots + A\cdot A^{k} = A + A^{2} + A^{3} + \cdots + A^{k+1}.
Subtraindo termo a termo:
S - A S = (I + A + A^{2} + \cdots + A^{k}) - (A + A^{2} + \cdots + A^{k+1}).
Observe que todos os termos A, A^{2},\ldots,A^{k} cancelam, sobrando apenas
S - A S = I - A^{k+1}.

Passo 5

Agora uso a hipótese do enunciado \,A^{k+1}=O\,. Substituindo na expressão anterior obtém-se
(I-A)S = I - A^{k+1} = I - O = I.
Portanto S é uma inversa à direita de I-A.

Passo 6

Para completar, verifico também que S é inversa à esquerda (isso não é estritamente necessário para matriz quadrada quando já se tem uma inversa à direita, mas é simples de mostrar e dá mais intuição). Calcule:
S(I-A) = S\cdot I - S\cdot A = S - S A.
Como S é polinômio em A, a multiplicação resulta em
S A = A + A^{2} + \cdots + A^{k+1},
e assim novamente
S - S A = I - A^{k+1} = I.
Logo S(I-A)=I. Assim S é inversa à esquerda e à direita, isto é, a inversa de I-A. Em particular \,I-A é não singular e sua inversa é S.

Passo 7

Comentário didático curto (dica para a prova): isso é exatamente o análogo matricial da identidade algébrica
(1-x)(1+x+\cdots+x^{k})=1-x^{k+1}.
Quando x^{k+1}=0 (no caso matricial x=A com A^{k+1}=O) a soma truncada fornece a inversa de 1-x. Exemplo concreto: para
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
temos A^{2}=O (logo k=1) e
(I-A)^{-1}=I+A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
o que pode ser verificado multiplicando explicitamente.]

Resposta

I-A é não singular.
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+\cdots+A^{k}