Seja
uma matriz
. Mostre que se
então
é não singular e
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
e uma potência nula
onde
é a matriz zero
. Pede para mostrar duas coisas:
- que
é não singular (ou seja, invertível); - e que a inversa é
Passo 2
Vou lembrar definições básicas, devagarinho:
- A matriz zero
é a matriz cujos todos os elementos são zero. - Uma matriz quadrada
é não singular (invertível) quando existe outra matriz tal que
onde
é a matriz identidade. Essa
é chamada de inversa de
e é única.
- Propriedade usada sem prova detalhada: multiplicação de matrizes é distributiva sobre a soma e associativa, isto é, para matrizes compatíveis vale
e podemos agrupar produtos devido à associatividade.
Passo 3
Estratégia natural (inspiração na série geométrica): tentar como candidata à inversa de
a soma finita
Se eu mostrar que
(ou
), então
é a inversa e, portanto,
é não singular.
Passo 4
Calculemos
expandindo por distributividade:
Agora escrevendo
explicitamente e multiplicando por
:
Subtraindo termo a termo:
Observe que todos os termos
cancelam, sobrando apenas
Passo 5
Agora uso a hipótese do enunciado
. Substituindo na expressão anterior obtém-se
Portanto
é uma inversa à direita de
.
Passo 6
Para completar, verifico também que
é inversa à esquerda (isso não é estritamente necessário para matriz quadrada quando já se tem uma inversa à direita, mas é simples de mostrar e dá mais intuição). Calcule:
Como
é polinômio em
, a multiplicação resulta em
e assim novamente
Logo
. Assim
é inversa à esquerda e à direita, isto é, a inversa de
. Em particular
é não singular e sua inversa é
.
Passo 7
Comentário didático curto (dica para a prova): isso é exatamente o análogo matricial da identidade algébrica
Quando
(no caso matricial
com
) a soma truncada fornece a inversa de
. Exemplo concreto: para
temos
(logo
) e
o que pode ser verificado multiplicando explicitamente.]