Seja N_{0} a populaçāo da Terra em 1980.
Supondo que a populaçāo aumenta 2 \% a cada ano, encontre a expressāo N(x) para a população após x anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma expressão:
  • Informação: N_{0} é a população da Terra em 1980.
  • Informação: a população aumenta 2\% a cada ano.
  • Pedido: encontrar a expressão N(x) para a população após x anos (ou seja, x anos depois de 1980).
    Observação: aqui x representa o número de anos transcorridos desde 1980 (tipicamente x\in\{0,1,2,\dots\}).

Passo 2

Entender o que significa “aumenta 2\% ao ano”: aumentar 2\% é multiplicar por um fator maior que 1. Convertemos a porcentagem em número decimal:
2\% = 0,02.
Se algo cresce 2\%, o fator por ano é 1+0,02. Definimos o fator anual
a = 1+0,02 = 1,02.

Passo 3

Raciocínio por repetição: após um ano a população será multiplicada por 1,02 uma vez; após dois anos, multiplicada por 1,02 duas vezes; e assim por diante. Portanto:
  • Após 1 ano: N(1)=N_{0}\cdot 1,02.
  • Após 2 anos: N(2)=N_{0}\cdot 1,02\cdot 1,02 = N_{0}\cdot (1,02)^{2}.
  • Após 3 anos: N(3)=N_{0}\cdot (1,02)^{3}.

Passo 4

Generalizando para x anos (repetindo a multiplicação x vezes) obtemos a fórmula:
N(x)=N_{0}\cdot (1,02)^{x},
válida para x=0,1,2,\dots. Aqui N(x) é a população após x anos, N_{0} é a população inicial (em 1980) e 1,02 é o fator de crescimento anual.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar: se x=5, então
N(5)=N_{0}\cdot (1,02)^{5}\approx N_{0}\cdot 1,10408,
ou seja, em 5 anos a população cresce aproximadamente 10{,}408\% do valor inicial (ou seja, aumenta cerca de 10{,}4\%).

Resposta

N(x)=N_{0}\,(1,02)^{x}