Seja um número natural
tal que
; sejam
pontos fixados no plano. Discutir a existência e a unicidade de um polígono com
lados cujos pontos médios são os pontos
.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um número natural
e pontos fixos no plano chamados
. A questão pede pra gente discutir se existe um polígono com
lados cujos pontos médios das arestas são exatamente esses pontos
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polígonos e propriedades dos pontos médios das suas arestas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide esse segmento em duas partes iguais. No contexto de um polígono, cada aresta tem um ponto médio correspondente.
Para encontrar um polígono cujos pontos médios são
, precisamos determinar as posições dos vértices desse polígono de forma que, ao ligá-los, os pontos médios das arestas coincidam com os
fornecidos.
Passo 3
Vamos considerar que os vértices do polígono são
. O ponto médio de cada aresta
(considerando
) deve ser igual a
. Matemáticamente, isso significa que:
Para cada
, temos essa equação que relaciona os vértices com os pontos médios.
Passo 4
Temos um sistema de equações lineares baseado nas equações acima. Podemos reescrevê-las para facilitar a solução:
Isso significa que cada vértice seguinte pode ser expressado em termos do vértice anterior e do ponto médio correspondente.
Passo 5
Vamos substituir essas equações recursivamente para encontrar uma expressão geral para os vértices. No entanto, para que o polígono seja fechado, a última equação deve satisfazer:
Isso cria uma condição que deve ser satisfeita para que exista um polígono fechado com os pontos médios dados.
Passo 6
Ao resolver esse sistema, vemos que existe exatamente um conjunto de vértices
que satisfaz todas as equações simultaneamente, assumindo que os pontos médios são fixos no plano e dados na ordem correta.
Passo 7
Portanto, a existência e unicidade do polígono dependem das condições acima, e sob essas condições, sempre haverá um único polígono com os pontos médios especificados.
Resposta
Existe exatamente um polígono de
lados cujos pontos médios das arestas são os pontos
. Ou seja, para
, sempre existe e é único um polígono com
lados cujo pontos médios são os pontos dados.