Seja um número natural n in N tal que n >= 3; sejam M1, M2, ldots Mn pontos fixados no plano. Discutir a existência e a unicidade de um polígono com n lados cujos pontos médios são os pontos M1, M2, ldots Mn.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um número natural n >= 3 e pontos fixos no plano chamados M1, M2, ldots, Mn. A questão pede pra gente discutir se existe um polígono com n lados cujos pontos médios das arestas são exatamente esses pontos M1, M2, ldots, Mn. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polígonos e propriedades dos pontos médios das suas arestas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide esse segmento em duas partes iguais. No contexto de um polígono, cada aresta tem um ponto médio correspondente.
Para encontrar um polígono cujos pontos médios são M1, M2, ldots, Mn, precisamos determinar as posições dos vértices desse polígono de forma que, ao ligá-los, os pontos médios das arestas coincidam com os Mi fornecidos.

Passo 3

Vamos considerar que os vértices do polígono são V1, V2, ldots, Vn. O ponto médio de cada aresta ViVi+1 (considerando Vn+1 = V1) deve ser igual a Mi. Matemáticamente, isso significa que:
Mi = Vi + Vi+12
Para cada i, temos essa equação que relaciona os vértices com os pontos médios.

Passo 4

Temos um sistema de equações lineares baseado nas equações acima. Podemos reescrevê-las para facilitar a solução:
Vi+1 = 2Mi - Vi
Isso significa que cada vértice seguinte pode ser expressado em termos do vértice anterior e do ponto médio correspondente.

Passo 5

Vamos substituir essas equações recursivamente para encontrar uma expressão geral para os vértices. No entanto, para que o polígono seja fechado, a última equação deve satisfazer:
Vn+1 = V1
Isso cria uma condição que deve ser satisfeita para que exista um polígono fechado com os pontos médios dados.

Passo 6

Ao resolver esse sistema, vemos que existe exatamente um conjunto de vértices V1, V2, ldots, Vn que satisfaz todas as equações simultaneamente, assumindo que os pontos médios são fixos no plano e dados na ordem correta.

Passo 7

Portanto, a existência e unicidade do polígono dependem das condições acima, e sob essas condições, sempre haverá um único polígono com os pontos médios especificados.

Resposta

Existe exatamente um polígono de n lados cujos pontos médios das arestas são os pontos M1, M2, ldots, Mn. Ou seja, para n >= 3, sempre existe e é único um polígono com n lados cujo pontos médios são os pontos dados.

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