Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em \mathbf{x}, \mathbf{y} e \mathbf{z}. Calcule o valor de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\\ x-3 y+z=1 \\\\ -2 y+z=a\end{array}\right. admita infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear em (x,y,z) com parâmetro a:
O conteúdo aqui é análise de consistência de sistemas e condição para infinitas soluções: precisamos que o posto da matriz de coeficientes seja igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas (3). Em termos práticos, basta que uma das equações seja combinação linear das outras.
Passo 2
Vamos eliminar x entre as duas primeiras equações. Subtraindo a primeira da segunda, obtemos
(x-3y+z)\;-\;(x+y-z)\;=\;1-0
ou seja
-4y+2z=1.
Dividindo ambos os lados por 2, chega-se a
-2y+z=\frac{1}{2}.
Passo 3
Compare agora a equação obtida
-2y+z=\frac{1}{2}
com a terceira equação original
-2y+z=a.
Para que a terceira equação seja redundante (isto é, coincida com a anterior) e não aumente o posto, devemos ter
a=\frac{1}{2}.
Passo 4
Com a=\tfrac12, o sistema fica com apenas duas equações independentes para três variáveis, gerando um grau de liberdade e, portanto, infinitas soluções. Para qualquer outro a, as três equações seriam compatíveis apenas em um ponto ou inconsistentes.