1. Seja a_{1} um número real qualquer e seja \left\{a_{n}\right\} a sequência definida recursivamente por
a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+1\right)
Faça uma conjectura sobre o limite da sequência e confirme sua conjectura expressando a_{n} em termos de a_{1} e tomando o limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva
a_{n+1} = \tfrac12\bigl(a_n + 1\bigr)
com a_1 dado arbitrariamente. Pede-se uma conjectura para \lim_{n\to\infty}a_n e a confirmação dessa conjectura obtendo uma fórmula explícita para a_n em função de a_1 e, em seguida, tomando o limite. O conteúdo aqui é resolução de recorrência linear de primeira ordem e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Suponha que a sequência convirja para um limite L. Então, em nível de limite, temos
L = \tfrac12\bigl(L + 1\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 2:
2L = L + 1 \quad\Longrightarrow\quad L = 1.
Logo, conjecturamos que \lim_{n\to\infty}a_n = 1.

Passo 3

Para confirmar, definimos a sequência auxiliar b_n = a_n - 1. Então
b_{n+1} = a_{n+1} - 1 = \tfrac12\bigl(a_n + 1\bigr) - 1 = \tfrac12\,a_n + \tfrac12 - 1 = \tfrac12\bigl(a_n - 1\bigr) = \tfrac12\,b_n.
Como b_1 = a_1 - 1, segue por indução
b_n = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}b_1 = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}(a_1 - 1).
Voltando a a_n = b_n + 1, obtemos
\boxed{a_n = 1 + (a_1 - 1)\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}.}

Passo 4

Tomando limite em n\to\infty, como \bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1}\to 0, resulta
\lim_{n\to\infty}a_n = 1 + (a_1 - 1)\cdot 0 = 1,
confirmando nossa conjectura.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 1.

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