- Seja
um número real qualquer e seja
a sequência definida recursivamente por
Faça uma conjectura sobre o limite da sequência e confirme sua conjectura expressando
em termos de
e tomando o limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência recursiva
com
dado arbitrariamente. Pede-se uma conjectura para
e a confirmação dessa conjectura obtendo uma fórmula explícita para
em função de
e, em seguida, tomando o limite. O conteúdo aqui é resolução de recorrência linear de primeira ordem e cálculo de limite de sequência.
Passo 2
Suponha que a sequência convirja para um limite
. Então, em nível de limite, temos
Multiplicando ambos os lados por 2:
Logo, conjecturamos que
.
Passo 3
Para confirmar, definimos a sequência auxiliar
. Então
Como
, segue por indução
Voltando a
, obtemos
Passo 4
Tomando limite em
, como
, resulta
confirmando nossa conjectura.