Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos apresenta uma equação diferencial parcial:
Nos pedem para verificar se a função
satisfaz essa equação. Basicamente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, somá-las e ver se dá zero. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a função
que estamos analisando. A função dada é
, mas parece que há uma pequena confusão. Para trabalharmos com a equação diferencial dada, vamos considerar
. Assim, teremos que calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia, onde derivamos o cosseno e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada interna de
em relação a
é
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Porque
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero.
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
Simplificando:
Para a equação ser satisfeita, essa soma deve ser igual a zero.
Passo 7
Analisando a expressão
, vemos que para que seja zero, ou
ou
.
No entanto, isso não acontece para todos os valores de
e
. Portanto, a função
não satisfaz a equação diferencial dada para todos os pontos, apenas em casos específicos.
Resposta
A função
não satisfaz a equação diferencial
para todos os valores de
e
.