Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=cos (x y^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos apresenta uma equação diferencial parcial:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0
Nos pedem para verificar se a função satisfaz essa equação. Basicamente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , somá-las e ver se dá zero. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a função que estamos analisando. A função dada é , mas parece que há uma pequena confusão. Para trabalharmos com a equação diferencial dada, vamos considerar . Assim, teremos que calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial wpartial x = partialpartial x cos(x y^4) = -sin(x y^4) cdot y^4 em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde derivamos o cosseno e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = partialpartial y cos(x y^4) = -sin(x y^4) cdot 4x y^3 em relação a :
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada interna de em relação a é .

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial wpartial z = partialpartial z cos(x y^4) = 0 em relação a :
Porque não depende de , sua derivada em relação a é zero.

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = (-sin(x y^4) y^4) + (-sin(x y^4) 4x y^3) + 0
Simplificando:
-sin(x y^4) (y^4 + 4x y^3)
Para a equação ser satisfeita, essa soma deve ser igual a zero.

Passo 7

Analisando a expressão , vemos que para que seja zero, ou ou .
No entanto, isso não acontece para todos os valores de e . Portanto, a função não satisfaz a equação diferencial dada para todos os pontos, apenas em casos específicos.

Resposta

A função não satisfaz a equação diferencial para todos os valores de e .

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