Seja uma partícula realizando um movimento bidimensional dado pelo seguinte vetor posição
r=2 t^2 imath-t jmath
Sendo t o tempo. Calcule:
c) Os respectivos módulos de v e a quando o tempo t for igual a 10 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo em duas dimensões, e a posição dela é dada pela equação vetorial:
r = 2 t^2 imath - t jmath
Aqui, é o tempo. O que a gente precisa fazer é calcular os módulos (ou seja, os tamanhos) das velocidades e das acelerações dessa partícula quando o tempo for igual a 10 segundos. Para isso, vamos usar o conteúdo de cinemática vetorial, que envolve derivadas para encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) = drdt . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Isso significa que vamos derivar cada componente de com relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da posição:
  • A derivada de v(t) = 4 t imath - jmath em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dvdt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 5

Vamos derivar cada termo da velocidade:
  • A derivada de a(t) = 4 imath em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que é uma constante.
Então, a aceleração fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular os módulos de v(10) = 4 times 10 imath - jmath = 40 imath - jmath e |v(10)| = raiz40^2 + (-1)^2 = raiz1600 + 1 = raiz1601 approx 40,01 , m/s quando a(10) = 4 imath segundos.
Para a velocidade:
|a(10)| = raiz4^2 = 4 , m/s^2
O módulo de é:
Para a aceleração:
O módulo de é:

Resposta

Quando segundos, o módulo da velocidade é aproximadamente 40,01 m/s e o módulo da aceleração é 4 m/s².

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