Seja a posição de um ponto 
  em três dimensões dada pelo vetor 
  em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, 
 , as quais são definidas assim: seja 
  a projeção de 
  sobre o plano 
 ; isto é, 
  tem coordenadas Cartesianas ( 
  ). Então, 
  e 
  são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de 
  no plano 
 , enquanto 
  é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a 
  para determinar as componentes cilíndricas da aceleração 
  de uma partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula, ou seja, 
 , dado que a posição dela está em coordenadas cilíndricas 
 . Então, vamos trabalhar com as derivadas de posição em coordenadas cilíndricas para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a posição 
  é expressa em coordenadas cilíndricas:
Aqui, 
  e 
  são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente. Note que 
 , o vetor unitário na direção angular, também entra na equação quando derivamos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade 
  derivando a posição em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar 
 , lembrando que 
  depende de 
 , então sua derivada traz 
  com um fator de 
 .
Passo 4
Seguimos para a aceleração 
 , que é a derivada da velocidade:
Aqui, aplicamos a derivada novamente, considerando que tanto 
  quanto 
  são funções do tempo. O termo 
  surge da derivada de 
  em relação a 
 .
Passo 5
Vamos detalhar cada componente:
- 
Componente radial (
): Aqui,é a aceleração na direção radial, e representa a aceleração centrípeta devido ao movimento angular.  - 
Componente angular (
): Esse termo inclui a aceleração tangenciale o efeito Coriolis .  - 
Componente vertical (
): Simplesmente a aceleração na direção z. 
Passo 6
Então, juntando tudo, as componentes cilíndricas da aceleração 
  são:
Resposta
As componentes cilíndricas da aceleração são: