Seja p a proporção de motoristas que usam cinto de segurança ao dirigir em um determinado município e assuma que lhe foi dito que p=0.14. Uma campanha publicitária foi realizada pela prefeitura deste município a fim de aumentar esta proporção, aumentando assim a segurança no trânsito. Dois meses após essa campanha, uma pesquisa constatou que x=104 de n=590 motoristas escolhidos aleatoriamente estavam usando cinto de segurança. Suponha que você foi contratado pela prefeitura deste município para dar uma consultoria estatística sobre a eficácia da campanha publicitária descrita. Teste se tal campanha foi bem sucedida ao nível de significância de alpha=0.01. [Dica generosa: Note que nesta situação é mais apropriado usar um teste unilateral]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre proporção de motoristas que usam cinto de segurança em um município. A prefeitura fez uma campanha publicitária para aumentar essa proporção. Você recebeu dados antes e depois da campanha e precisa verificar se a campanha realmente funcionou. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para uma proporção. Vamos precisar calcular a proporção observada após a campanha e comparar com a proporção inicial usando estatísticas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de motoristas que usam cinto de segurança não mudou após a campanha. Matemáticamente, $ H_0: p = 0.14 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de motoristas que usam cinto de segurança aumentou após a campanha. Matemáticamente, $ H_1: p > 0.14 $.
Estamos usando um teste unilateral porque queremos saber se houve um aumento, não se houve qualquer mudança.

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos usar a aproximação normal para esse teste. Para isso, precisamos que tanto $ np $ quanto $ n(1-p) $ sejam maiores ou iguais a 10.
  • $ np = 590 \times 0.14 = 82.6 $
  • $ n(1-p) = 590 \times 0.86 = 508.4 $
Como ambos são maiores que 10, estamos ok para usar a aproximação normal.

Passo 4

Vamos calcular a proporção observada após a campanha:
p = 104590 approx 0.176
Em seguida, calculamos o erro padrão (SE):
SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0.14 times 0.86590 approx raiz0.1204590 approx 0.0143
Agora, calculamos o estatístico de teste (z):
z = p - p0SE = 0.176 - 0.140.0143 approx 0.0360.0143 approx 2.52

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância $ \alpha = 0.01 $ em um teste unilateral. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente:
alpha = 0.01

Passo 6

Comparando o estatístico de teste com o valor crítico:
2.52 > 2.326
Como o z calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, a campanha publicitária foi bem sucedida em aumentar a proporção de motoristas que usam cinto de segurança, ao nível de significância de 1%.

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