Seja
a proporção de motoristas que usam cinto de segurança ao dirigir em um determinado município e assuma que lhe foi dito que
. Uma campanha publicitária foi realizada pela prefeitura deste município a fim de aumentar esta proporção, aumentando assim a segurança no trânsito. Dois meses após essa campanha, uma pesquisa constatou que
de
motoristas escolhidos aleatoriamente estavam usando cinto de segurança. Suponha que você foi contratado pela prefeitura deste município para dar uma consultoria estatística sobre a eficácia da campanha publicitária descrita. Teste se tal campanha foi bem sucedida ao nível de significância de
. [Dica generosa: Note que nesta situação é mais apropriado usar um teste unilateral]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre proporção de motoristas que usam cinto de segurança em um município. A prefeitura fez uma campanha publicitária para aumentar essa proporção. Você recebeu dados antes e depois da campanha e precisa verificar se a campanha realmente funcionou. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para uma proporção. Vamos precisar calcular a proporção observada após a campanha e comparar com a proporção inicial usando estatísticas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
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Hipótese Nula (H₀): A proporção de motoristas que usam cinto de segurança não mudou após a campanha. Matemáticamente, $ H_0: p = 0.14 $.
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Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de motoristas que usam cinto de segurança aumentou após a campanha. Matemáticamente, $ H_1: p > 0.14 $.
Estamos usando um teste unilateral porque queremos saber se houve um aumento, não se houve qualquer mudança.
Passo 3
Agora, vamos verificar se podemos usar a aproximação normal para esse teste. Para isso, precisamos que tanto $ np $ quanto $ n(1-p) $ sejam maiores ou iguais a 10.
- $ np = 590 \times 0.14 = 82.6 $
- $ n(1-p) = 590 \times 0.86 = 508.4 $
Como ambos são maiores que 10, estamos ok para usar a aproximação normal.
Passo 4
Vamos calcular a proporção observada após a campanha:
Em seguida, calculamos o erro padrão (SE):
Agora, calculamos o estatístico de teste (z):
Passo 5
Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância $ \alpha = 0.01 $ em um teste unilateral. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente:
Passo 6
Comparando o estatístico de teste com o valor crítico:
Como o z calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, a campanha publicitária foi bem sucedida em aumentar a proporção de motoristas que usam cinto de segurança, ao nível de significância de 1%.