Seja
e
mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição
e sua magnitude
. O objetivo é mostrar que a divergente de
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergente. Para um campo vetorial
, a divergente é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente do vetor.
Passo 3
Agora, vamos expressar
. Sabemos que
, então:
Aqui, as componentes do vetor são
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente. Começando por
:
Para resolver isso, usamos a regra do produto, que diz que
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto em
:
Fazemos a mesma coisa para as outras componentes:
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter a divergente:
Sabemos que
, então substituímos na equação.
Passo 7
Substituindo
na expressão: