(a) Seja
uma reta tangente à elipse de equação
no ponto
. Mostre que a equação da reta
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a equação de uma reta tangente à elipse
no ponto
é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre elipses e tangentes, além de usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse:
. Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem, onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a equação da reta tangente à elipse em um ponto específico
, precisamos determinar a inclinação dessa reta. Para isso, vamos derivar a equação da elipse em relação a
para encontrar a derivada
, que nos dá a inclinação da tangente.
Passo 4
Vamos derivar a equação da elipse:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é a inclinação da reta tangente à elipse no ponto
.
Passo 6
Sabemos que a equação geral de uma reta é:
Onde
é a inclinação da reta. Substituindo
pela inclinação que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo os termos:
Passo 8
Levamos todos os termos para um lado da equação:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
Mas sabemos que
(já que
está na elipse), então:
Resposta
A equação da reta tangente
é dada por: