(a) Seja r uma reta tangente à elipse de equação x^2a^2+x^2b^2=1 no ponto (x1, y1). Mostre que a equação da reta r é dada por
x1 xa^2+y1 yb^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a equação de uma reta tangente à elipse no ponto é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre elipses e tangentes, além de usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse: . Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem, onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente à elipse em um ponto específico , precisamos determinar a inclinação dessa reta. Para isso, vamos derivar a equação da elipse em relação a para encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da tangente.

Passo 4

Vamos derivar a equação da elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Derivando ambos os lados em relação a 2xa^2 + 2yb^2 cdot dydx = 0 :

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2yb^2 cdot dydx = -2xa^2 :
dydx = -x cdot b^2y cdot a^2
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a inclinação da reta tangente à elipse no ponto .

Passo 6

Sabemos que a equação geral de uma reta é:
y - y1 = m (x - x1)
Onde y - y1 = -x1 b^2y1 a^2 (x - x1) é a inclinação da reta. Substituindo pela inclinação que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando ambos os lados por y1 a^2 (y - y1) = -x1 b^2 (x - x1) :
y1 a^2 y - y1^2 a^2 = -x1 b^2 x + x1^2 b^2
Distribuindo os termos:

Passo 8

Levamos todos os termos para um lado da equação:
x1 b^2 x + y1 a^2 y = y1^2 a^2 + x1^2 b^2

Passo 9

Dividindo ambos os lados por x1 xa^2 + y1 yb^2 = y1^2 a^2 + x1^2 b^2a^2 b^2 :
x1 xa^2 + y1 yb^2 = 1
Mas sabemos que (já que está na elipse), então:

Resposta

A equação da reta tangente x1 xa^2 + y1 yb^2 = 1 é dada por:

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