Seja R o retângulo 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1. Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, sendo f(x, y)=11+x^2+2 x y+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo definido por e da função . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e técnicas de substituição para simplificar a função antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. Observamos que o denominador pode ser reescrito de forma mais simples. Veja:
1 + x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 + 1 - y^2 + y^2 = (x + y)^2 + 1
Então, a função fica:
f(x, y) = 11 + (x + y)^2
Isso facilita muito nossa vida para integrar.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla com essa nova forma da função:
integral duplaR 11 + (x + y)^2 , dx , dy
Vamos resolver essa integral realizando a integração em relação a primeiro e depois em relação a .

Passo 4

Vamos integrar com respeito a integral1^2 11 + (x + y)^2 , dx = integral1 + y^2 + y 11 + u^2 , du . Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então . Quando varia de 1 a 2, varia de a . A integral em relação a fica:
A integral de em relação a é conhecida, é a arctangente.

Passo 5

Calculando a integral em integral1 + y^2 + y 11 + u^2 , du = [ arctan(u) ]1 + y^2 + y = arctan(2 + y) - arctan(1 + y) :
integral0^1 ( arctan(2 + y) - arctan(1 + y) ) , dy
Então, a integral dupla agora fica:

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa diferença de arctangentes em relação a integral arctan(a + y) , dy = (a + y)arctan(a + y) - 12 ln(1 + (a + y)^2) + C . Vamos lembrar que a derivada de integral0^1 arctan(2 + y) , dy = [ (2 + y)arctan(2 + y) - 12 ln(1 + (2 + y)^2) ]0^1 em relação a integral0^1 arctan(1 + y) , dy = [ (1 + y)arctan(1 + y) - 12 ln(1 + (1 + y)^2) ]0^1 é , mas aqui estamos integrando em relação a . Podemos resolver isso observando que:
Aplicando essa fórmula para ambas as funções:

Passo 7

Calculando cada parte:
Para [ (3)arctan(3) - 12 ln(10) ] - [ (2)arctan(2) - 12 ln(5) ) = 3arctan(3) - 2arctan(2) - 12(ln(10) - ln(5)) :
ln(10) - ln(5) = ln(105) = ln(2)
Simplificando a parte dos logaritmos:
3arctan(3) - 2arctan(2) - 12 ln(2)
Então fica:
[ (2)arctan(2) - 12 ln(5) ] - [ (1)arctan(1) - 12 ln(2) ) = 2arctan(2) - arctan(1) - 12(ln(5) - ln(2))
Para ln(5) - ln(2) = ln(52) :
2arctan(2) - arctan(1) - 12 ln(52)
Simplificando novamente:
Então fica:

Passo 8

Agora, unindo tudo:
[3arctan(3) - 2arctan(2) - 12 ln(2)] - [2arctan(2) - arctan(1) - 12 ln(52)]
Distribuindo os sinais:
3arctan(3) - 2arctan(2) - 12 ln(2) - 2arctan(2) + arctan(1) + 12 ln(52)
Agrupando termos semelhantes:
3arctan(3) - 4arctan(2) + arctan(1) + 12 ln(52) - 12 ln(2)
Simplificando os logaritmos:
12 ln(52) - 12 ln(2) = 12 ln(54)
Portanto, a integral final fica:
3arctan(3) - 4arctan(2) + arctan(1) + 12 ln(54)

Resposta

A integral dupla é igual a:
3,arctan(3) - 4,arctan(2) + arctan(1) + 12ln(54)

Exercícios relacionados