Seja
o retângulo
. Calcule
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral dupla sobre o retângulo
definido por
e
da função
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e técnicas de substituição para simplificar a função antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. Observamos que o denominador pode ser reescrito de forma mais simples. Veja:
Então, a função fica:
Isso facilita muito nossa vida para integrar.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla com essa nova forma da função:
Vamos resolver essa integral realizando a integração em relação a
primeiro e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos integrar com respeito a
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. Quando
varia de 1 a 2,
varia de
a
. A integral em relação a
fica:
A integral de
em relação a
é conhecida, é a arctangente.
Passo 5
Calculando a integral em
:
Então, a integral dupla agora fica:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa diferença de arctangentes em relação a
. Vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
, mas aqui estamos integrando em relação a
. Podemos resolver isso observando que:
Aplicando essa fórmula para ambas as funções:
Passo 7
Calculando cada parte:
Para
:
Simplificando a parte dos logaritmos:
Então fica:
Para
:
Simplificando novamente:
Então fica:
Passo 8
Agora, unindo tudo:
Distribuindo os sinais:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os logaritmos:
Portanto, a integral final fica:
Resposta
A integral dupla é igual a: