Seja a saída
de um sistema dada por:
em que
é a entrada.
A partir disso, considere os valores das constantes e em cada um dos casos:
-
.
II.
.
III.
.
IV.
.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o sistema será não linear apenas nos casos:
a) I e II
b) I e IV
c) III e IV
d) I, II e III
e) II, III e IV
A partir disso, considere os valores das constantes e em cada um dos casos:
II.
III.
IV.
a) I e II
b) I e IV
c) III e IV
d) I, II e III
e) II, III e IV
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede, para quatro conjuntos de constantes
, em quais casos o sistema é não linear. Os quatro casos são:
-
I:
.
Aqui. -
II:
.
Aqui. -
III:
.
Aqui. -
IV:
.
Aqui.
A pergunta é: o sistema será não linear apenas em quais desses casos?
Passo 2
O que significa um sistema ser linear (explicação didática): um sistema
que associa cada entrada
a uma saída
é linear se e somente se vale a propriedade de superposição: para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
,
Essa condição é equivalente a exigir duas propriedades separadas:
- homogeneidade (ou escalamento):
para todo ; - aditividade:
.
Uma consequência prática e fácil de usar em provas é que, para um sistema linear, o sinal nulo como entrada deve produzir saída nula:
Se
o sistema já é não linear (isso é uma forma rápida de detectar não linearidade quando há termos constantes).
Passo 3
Observação estrutural sobre a forma dada:
- O termo
é linear em (pois é apenas uma multiplicação por constante). - O termo
é uma constante adicionada: ele cria um deslocamento (offset). Se então , logo o sistema é não linear. - O termo
é linear só quando . Para qualquer esse termo geralmente é não linear (por exemplo é não linear; é uma constante 1, também não linear por criar offset).
Portanto, para o sistema ser linear é necessário que
e
. (Se essas duas condições são satisfeitas, o sistema reduz a uma multiplicação por constante e é linear.)
Passo 4
Análise do caso I (
):
Calculemos explicitamente:
Aqui
(observação técnica:
é singular, mas em contextos de sinais costuma-se interpretar
para valores não nulos; de qualquer forma o termo é uma constante). Então
logo a propriedade necessária
falha. Portanto o sistema é não linear neste caso. Também é fácil mostrar que a homogeneidade falha: por exemplo,
.
Passo 5
Análise do caso II (
):
Aqui
Esse é o caso mais simples:
. Verifiquemos superposição:
Tanto homogeneidade quanto aditividade valem, e
. Portanto o sistema é linear neste caso.
Passo 6
Análise do caso III (
):
Aqui
Isso é uma multiplicação por constante
. Teste de superposição:
Logo é linear (multiplicação por constante preserva linearidade).
Passo 7
Análise do caso IV (
):
Aqui
Duas razões imediatas para não linearidade: o termo
é não linear (não satisfaz aditividade) e o termo
é um deslocamento (faz
). Para ver concretamente que a aditividade falha, tome por exemplo
e
(sinais constantes iguais a 1). Então
enquanto
Como
, a aditividade não vale e o sistema é não linear.
Passo 8
Conclusão por caso:
- I: não linear (devido ao termo constante
). - II: linear (identidade).
- III: linear (multiplicação por constante
). - IV: não linear (devido a
e ao offset ).
Portanto os casos não lineares são exatamente I e IV.
Resposta
b) I e IV