Seja a saída y(t) de um sistema dada por:
y(t)=(x(t))^{a}+b \cdot x(t)+c
em que x(t) é a entrada.
A partir disso, considere os valores das constantes e em cada um dos casos:
  1. a=0, b=1, c=0.
    II. a=1, b=0, c=0.
    III. \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=1, \mathrm{c}=0.
    IV. a=2, b=0, c=1.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o sistema será não linear apenas nos casos:
a) I e II
b) I e IV
c) III e IV
d) I, II e III
e) II, III e IV

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t) = (x(t))^{a} + b\cdot x(t) + c
e pede, para quatro conjuntos de constantes (a,b,c), em quais casos o sistema é não linear. Os quatro casos são:
  • I: a=0,\\ b=1,\\ c=0.
    Aqui \;y(t)=x(t)^{0}+1\cdot x(t)+0.
  • II: a=1,\\ b=0,\\ c=0.
    Aqui \;y(t)=x(t)^{1}+0\cdot x(t)+0.
  • III: a=1,\\ b=1,\\ c=0.
    Aqui \;y(t)=x(t)^{1}+1\cdot x(t)+0.
  • IV: a=2,\\ b=0,\\ c=1.
    Aqui \;y(t)=x(t)^{2}+0\cdot x(t)+1.
A pergunta é: o sistema será não linear apenas em quais desses casos?

Passo 2

O que significa um sistema ser linear (explicação didática): um sistema S que associa cada entrada x(t) a uma saída y(t)=S[x](t) é linear se e somente se vale a propriedade de superposição: para quaisquer sinais x_1(t),x_2(t) e quaisquer escalares \alpha,\beta,
S[\alpha x_1 + \beta x_2] = \alpha\,S[x_1] + \beta\,S[x_2].
Essa condição é equivalente a exigir duas propriedades separadas:
  • homogeneidade (ou escalamento): S[\alpha x] = \alpha S[x] para todo \alpha;
  • aditividade: S[x_1 + x_2] = S[x_1] + S[x_2].
Uma consequência prática e fácil de usar em provas é que, para um sistema linear, o sinal nulo como entrada deve produzir saída nula:
S[0] = 0.
Se S[0]\neq 0 o sistema já é não linear (isso é uma forma rápida de detectar não linearidade quando há termos constantes).

Passo 3

Observação estrutural sobre a forma dada:
y(t) = (x(t))^{a} + b\,x(t) + c.
  • O termo b\,x(t) é linear em x (pois é apenas uma multiplicação por constante).
  • O termo c é uma constante adicionada: ele cria um deslocamento (offset). Se c\neq 0 então S[0]=c\neq 0, logo o sistema é não linear.
  • O termo (x(t))^{a} é linear só quando a=1. Para qualquer a\neq 1 esse termo geralmente é não linear (por exemplo x^2 é não linear; x^0 é uma constante 1, também não linear por criar offset).
Portanto, para o sistema ser linear é necessário que a=1 e c=0. (Se essas duas condições são satisfeitas, o sistema reduz a uma multiplicação por constante e é linear.)

Passo 4

Análise do caso I ( a=0,\\ b=1,\\ c=0):
Calculemos explicitamente:
y(t) = x(t)^{0} + 1\cdot x(t) + 0 = 1 + x(t).
Aqui x(t)^{0}=1 (observação técnica: 0^0 é singular, mas em contextos de sinais costuma-se interpretar x^0=1 para valores não nulos; de qualquer forma o termo é uma constante). Então
S[0](t) = 1 \neq 0,
logo a propriedade necessária S[0]=0 falha. Portanto o sistema é não linear neste caso. Também é fácil mostrar que a homogeneidade falha: por exemplo, S[2x] = 1 + 2x \neq 2(1+x)=2S[x].

Passo 5

Análise do caso II ( a=1,\\ b=0,\\ c=0):
Aqui
y(t) = x(t)^{1} + 0\cdot x(t) + 0 = x(t).
Esse é o caso mais simples: S[x]=x. Verifiquemos superposição:
S[\alpha x_1 + \beta x_2] = \alpha x_1 + \beta x_2 = \alpha S[x_1] + \beta S[x_2].
Tanto homogeneidade quanto aditividade valem, e S[0]=0. Portanto o sistema é linear neste caso.

Passo 6

Análise do caso III ( a=1,\\ b=1,\\ c=0):
Aqui
y(t) = x(t)^{1} + 1\cdot x(t) + 0 = x(t) + x(t) = 2\,x(t).
Isso é uma multiplicação por constante 2. Teste de superposição:
S[\alpha x_1 + \beta x_2] = 2(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha(2x_1) + \beta(2x_2) = \alpha S[x_1] + \beta S[x_2].
Logo é linear (multiplicação por constante preserva linearidade).

Passo 7

Análise do caso IV ( a=2,\\ b=0,\\ c=1):
Aqui
y(t) = x(t)^{2} + 0\cdot x(t) + 1 = x(t)^{2} + 1.
Duas razões imediatas para não linearidade: o termo x(t)^2 é não linear (não satisfaz aditividade) e o termo +1 é um deslocamento (faz S[0]=1\neq 0). Para ver concretamente que a aditividade falha, tome por exemplo x_1(t)=1 e x_2(t)=1 (sinais constantes iguais a 1). Então
S[x_1+x_2](t) = S[2](t) = 2^{2}+1 = 5,
enquanto
S[x_1](t)+S[x_2](t) = (1^{2}+1) + (1^{2}+1) = 4.
Como 5\neq 4, a aditividade não vale e o sistema é não linear.

Passo 8

Conclusão por caso:
  • I: não linear (devido ao termo constante x^0=1).
  • II: linear (identidade).
  • III: linear (multiplicação por constante 2).
  • IV: não linear (devido a x^2 e ao offset +1).
Portanto os casos não lineares são exatamente I e IV.

Resposta

b) I e IV

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