Encontre a resposta y(t) para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se h(n)=\left(\frac{2}{3}\right)^{n} u(n) é a resposta ao impulso, encontre a saída y(n) considerando a entrada x(n)=\delta(n-2).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi dada a resposta ao impulso \;h(n)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}u(n)\;.
  • A entrada é \;x(n)=\delta(n-2)\;.
  • Pedidos:
    1. Encontrar a saída \;y(n)\; do sistema LTI.
    2. Determinar se o sistema é BIBO estável ou instável.

Passo 2

Relembrando a definição útil (sem pressa, passo a passo):
  • Para um sistema LTI discreto, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. A fórmula que usamos é
y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)\,h(n-k).
Aqui a soma é sobre a variável de soma k. A ideia é: cada amostra x(k) “ativa” uma cópia de h(n) deslocada em k, e somamos tudo.
  • Outra propriedade importantíssima: a função delta discreta \delta(n-n_0) age como um “selector” (sifoneira): ao somar \sum_k \delta(k-n_0) f(k) obtém-se f(n_0). Em outras palavras, a convolução com um delta deslocado apenas desloca o outro sinal.

Passo 3

Aplicando a fórmula de convolução ao caso concreto usando a forma \;y(n)=\sum_{k} x(k)\,h(n-k)\;:
  • Substituímos \;x(k)=\delta(k-2)\;, portanto
y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(k-2)\,h(n-k).
  • Pela propriedade da delta (só o termo k=2 contribui), a soma “puxa” o valor de h(n-k) em k=2. Logo
y(n)=h(n-2).
Isso é a aplicação direta e simples da propriedade do delta: uma única amostra em k=2 desloca a resposta ao impulso para a direita em 2 amostras.

Passo 4

Agora substituímos a expressão de \;h(\cdot)\;\) em \(\;h(n-2)\;\): \[y(n)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\,n-2}\,u(n-2).
Explicando os símbolos e a forma prática:
  • \;u(n-2)\;=\begin{cases}1,& n\ge 2,\\[4pt]0,& n<2,\end{cases}\] então podemos também escrever a saída de forma explícita: \[y(n)=\begin{cases} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\,n-2}, & n\ge 2,\\[4pt] 0, & n<2. \end{cases}\] Isto significa: a saída é zero até \(n=1 e, a partir de n=2, segue a sequência geométrica \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-2}.]

Passo 5

Agora vamos analisar a estabilidade BIBO (passo a passo, com a regra):
  • Para um sistema LTI discreto o critério de estabilidade BIBO é: a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty.
  • No nosso caso \;h(n)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}u(n)\; é não nula apenas para n\ge 0 e todos os termos são positivos, então
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)|=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
  • Esta é uma soma geométrica com razão r=\dfrac{2}{3}, cuja soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\dfrac{1}{1-r} \quad\text{quando }\;|r|<1.
Aqui r=\dfrac{2}{3} satisfaz |r|<1, então
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=\dfrac{1}{1-\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{\tfrac{1}{3}}=3,
que é finito. Portanto a condição de estabilidade BIBO é satisfeita.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (curtinho e prático):
  • A entrada \delta(n-2) desloca a resposta ao impulso em 2 amostras.
  • A saída é a resposta ao impulso deslocada: \;y(n)=h(n-2)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-2}u(n-2)\;.
  • A resposta ao impulso é absolutamente somável (soma geométrica finita igual a 3), logo o sistema é BIBO estável.

Resposta

y(n)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\,n-2}\,u(n-2)
Sistema BIBO estável.

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