Encontre a resposta
para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se
é a resposta ao impulso, encontre a saída
considerando a entrada
.
Se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Foi dada a resposta ao impulso
. - A entrada é
. - Pedidos:
- Encontrar a saída
do sistema LTI. - Determinar se o sistema é BIBO estável ou instável.
- Encontrar a saída
Passo 2
Relembrando a definição útil (sem pressa, passo a passo):
- Para um sistema LTI discreto, a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. A fórmula que usamos é
Aqui a soma é sobre a variável de soma
. A ideia é: cada amostra
“ativa” uma cópia de
deslocada em
, e somamos tudo.
- Outra propriedade importantíssima: a função delta discreta
age como um “selector” (sifoneira): ao somar obtém-se . Em outras palavras, a convolução com um delta deslocado apenas desloca o outro sinal.
Passo 3
Aplicando a fórmula de convolução ao caso concreto usando a forma
:
- Substituímos
, portanto
- Pela propriedade da delta (só o termo
contribui), a soma “puxa” o valor de em . Logo
Isso é a aplicação direta e simples da propriedade do delta: uma única amostra em
desloca a resposta ao impulso para a direita em 2 amostras.
Passo 4
Agora substituímos a expressão de
Explicando os símbolos e a forma prática:
-
e, a partir de
, segue a sequência geométrica .]
Passo 5
Agora vamos analisar a estabilidade BIBO (passo a passo, com a regra):
- Para um sistema LTI discreto o critério de estabilidade BIBO é: a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável:
- No nosso caso
é não nula apenas para e todos os termos são positivos, então
- Esta é uma soma geométrica com razão
, cuja soma é
Aqui
satisfaz
, então
que é finito. Portanto a condição de estabilidade BIBO é satisfeita.
Passo 6
Resumo final do raciocínio (curtinho e prático):
- A entrada
desloca a resposta ao impulso em 2 amostras. - A saída é a resposta ao impulso deslocada:
. - A resposta ao impulso é absolutamente somável (soma geométrica finita igual a
), logo o sistema é BIBO estável.
Resposta
Sistema BIBO estável.