Seja a seguinte série de medidas de um resistor de valor nominal de 470 \Omega, dadas em ohm:
Nro. \mathbf{x}_{\mathbf{i}} d d { }^{2}
1 472,23
2 472,02
3 470,99
4 471,05
5 471,62
6 470,81
7 470,94
8 473,47
9 472,05
10 470,78
11 471,95
12 470,87
13 470,65
14 471,73
15 472,95
\boldsymbol{\Sigma}
a) Determine o valor médio, o desvio médio, o desvio padrão.
b) Relacione as métricas estatísticas com os conceitos de exatidão e precisão.

Passo 1

O enunciado dá n=15 medidas (valores em \Omega) do resistor nominal 470\\ \Omega. Peguei os dados do enunciado (tabela):
\begin{array}{l} 472,23,\;472,02,\;470,99,\;471,05,\;471,62,\\\\ 470,81,\;470,94,\;473,47,\;472,05,\;470,78,\\\\ 471,95,\;470,87,\;470,65,\;471,73,\;472,95 \end{array}
O que o exercício pede:
(a) determinar o valor médio, o desvio médio e o desvio padrão;
(b) relacionar essas métricas com os conceitos de exatidão e precisão.
Antes de começar, vou definir claramente as fórmulas que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • n é o número de medições ( n=15).
  • x_i são as medições (os números acima).
  • A média aritmética (valor médio) é
\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
que representa o “centro” das medições (útil para ver bias em relação ao valor nominal).
  • O desvio médio (aqui uso a definição usual em metrologia: média das diferenças absolutas em relação à média) é
\text{DM}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl|x_i-\bar x\bigr|.
Ele mede a dispersão média das observações em torno da média.
  • O desvio padrão amostral (medida clássica de dispersão; para dados experimentais usa-se o denominador n-1) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar x\bigr)^2}.
Ele dá uma noção da “largura” da distribuição das medições (precisão).
Agora eu calculo passo a passo.

Passo 2

Calcular a média \bar x.
Somando as 15 medições (peguei cada valor da tabela do enunciado):
\sum_{i=1}^{15} x_i = 7074,11\\ \Omega.
Aplicando a fórmula da média:
\bar x=\frac{1}{15}\cdot 7074,11 = 471,607\\ \Omega.
Interpretação curta: esse é o valor médio das medições obtidas (vamos usar esse \bar x para calcular as dispersões).

Passo 3

Calcular o desvio médio \text{DM}.
Primeiro calculei as diferenças em módulo |x_i-\bar x| para cada medida (ex.: para x_1=472,23 tem |x_1-\bar x|=|472,23-471,607|=0,622666\\ \Omega, e assim por diante para todas as 15 medidas). Somando todas as diferenças absolutas obtive
\sum_{i=1}^{15}\bigl|x_i-\bar x\bigr| = 10,322666667\\ \Omega.
Portanto o desvio médio é
\text{DM}=\frac{1}{15}\cdot 10,322666667 = 0,688178\\ \Omega.
(Arredondarei no final, mas já fica claro: em média cada medida fica a cerca de 0,69\\ \Omega da média.)

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral s.
Primeiro calculei as diferenças ao quadrado (x_i-\bar x)^2 para cada medição e somei; esse somatório deu
\sum_{i=1}^{15}\bigl(x_i-\bar x\bigr)^2 = 10,07709331\\ \Omega^2.
A variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar x\bigr)^2 = \frac{10,07709331}{14}=0,71979238\\ \Omega^2.
Tomando raiz quadrada:
s=\sqrt{0,71979238}=0,84841\\ \Omega.
Interpretação: o desvio padrão mostra que a dispersão típica das medições em torno da média é aproximadamente 0,85\\ \Omega.

Passo 5

Conectar com exatidão e precisão (explicação didática):
  • Exatidão (accuracy): diz respeito ao quanto as medições estão próximas do valor verdadeiro (ou do valor nominal 470\\ \Omega). Uma forma prática de avaliar a exatidão é olhar para o erro sistemático (bias), definido por
\text{bias}=\bar x-\text{valor nominal} = 471,607 - 470 = 1,607\\ \Omega.
Ou em porcentagem relativa:
\frac{1,607}{470}\approx 0,00342 \approx 0,342\%.
Isso indica que as medições, em média, estão cerca de 1,6\\ \Omega acima do valor nominal: há um erro sistemático ou deslocamento (portanto a exatidão não é perfeita).
  • Precisão: refere-se à consistência/replicabilidade das medições — quão espalhadas elas estão entre si. Métricas de precisão são o desvio padrão s e o desvio médio \text{DM}. Neste caso:
\text{DM}\approx 0,688\\ \Omega,\qquad s\approx 0,848\\ \Omega.
Esses valores mostram que as medidas são relativamente pouco dispersas (boa precisão): a variabilidade é menor do que o deslocamento médio em relação ao valor nominal. Em palavras: os pontos estão agrupados (precisos), mas deslocados para cima em relação ao valor nominal (não muito exatos).
Resumo qualitativo (para a prova): média → indica exatidão (via comparação com valor verdadeiro); desvio padrão / desvio médio → indicam precisão (quanto as medidas variam entre si). Um conjunto de medidas pode ser preciso (baixo s) e impreciso em termos de exatidão (alto bias), ou vice‑versa.

Passo 6

Observações finais rápidas para a prova:
  • Use n-1 no denominador do desvio padrão quando estiver estimando a dispersão de uma população a partir de amostras experimentais (prática comum em laboratórios).
  • Arredonde respostas consistemente (aqui os dados têm 2 casas decimais; relatar \bar x = 471,607\\ \Omega, \text{DM}=0,688\\ \Omega, s=0,848\\ \Omega é adequado).
  • Se pedirem incerteza na média, pode-se calcular o erro padrão s_{\bar x}=s/\sqrt{n} (não pedido aqui, mas útil).

Resposta

(a) \bar x=471,607\\ \Omega, \text{desvio médio}=0,688178\\ \Omegaé, \text{desvio padrão } s=0,84841\\ \Omegaã\n
(b) A média (comparada ao valor nominal) indica a exatidão (bias =1,607\\ \Omega, ou 0,342\% acima do nominal); o desvio médio e o desvio padrão quantificam a precisão (dispersão das medições entre si).

Exercícios relacionados