Seja f(z) = e^z / sen(z), com z in D={x+i y:|x|<1,|y|<1}. Calcule a parte principal de f(z). y = sen(x^2) Resposta:1/z. 83

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida no domínio . O objetivo é calcular a parte principal dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente séries de Laurent, que nos ajudam a representar funções complexas perto de pontos singulares. A parte principal é basicamente a parte da série que tem potências negativas de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como expandir e em séries de potências. A série de Taylor para é:
Já a série de Taylor para é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Podemos inverter a série de para obter:
Para simplificar, consideramos apenas os primeiros termos, já que estamos procurando a parte principal (termos com potências negativas de ):

Passo 4

Agora, multiplicamos a série de pela série aproximada de :
Distribuindo os termos, focando nos que vão contribuir com potências negativas de :
Aqui, o único termo com potência negativa é .

Resposta

A parte principal de é .

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