Seja um sistema duplo integrador dado por
. Sabe-se que o período de amostragem é
segundos. Assume-se que os polos do sistema de malha fechada possuem dinâmica compatível com frequência natural não amortecida
e coeficiente de amortecimento
e que os polos do polinômio observador
estão todos em 0,5 .
Determine os polos do polinômio controlador
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre sistemas de controle, especificamente um sistema duplo integrador representado por
. O período de amostragem é
segundos. Queremos encontrar os polos do polinômio controlador
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como polos do sistema, frequência natural (
), coeficiente de amortecimento (
) e como esses se relacionam no domínio discreto (com transformada Z). Também precisaremos usar algumas fórmulas de transformação para converter do domínio contínuo para o discreto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um sistema duplo integrador
. Isso indica que o sistema tem dois polos no ponto
, ou seja, é um sistema de segunda ordem sem amortecimento natural no domínio contínuo.
Passo 3
Agora, a frequência natural não amortecida
rad/s e o coeficiente de amortecimento
nos dizem como os polos do sistema de malha fechada estão posicionados no plano
. Para um sistema de segunda ordem, os polos são dados por:
Como
é menor que 1, temos polos complexos conjugados:
Passo 4
Agora, precisamos transformar esses polos do domínio contínuo para o domínio discreto usando o período de amostragem
segundos. A transformação mais comum para isso é a Transformada Bilinear ou a Transformada Z usando
.
Usando
, onde
, temos:
Isso pode ser escrito como:
Calculando os valores:
Então,
Portanto, os polos no domínio discreto são aproximadamente
.
Passo 5
Sabemos que os polos do polinômio observador
estão todos em 0,5. Isso significa que o observador é projetado para ter polos reais e iguais a 0,5 no domínio discreto.
Para determinar os polos do controlador
, precisamos garantir que o controlador posicione os polos do sistema de malha fechada conforme calculado. Considerando que o sistema é um duplo integrador e que já temos os polos do observador, o controlador deve ser desenhado para cancelar a dinâmica indesejada e posicionar os polos no lugar certo.
Passo 6
No caso de um sistema duplo integrador, o controlador geralmente é projetado para adicionar os ganhos necessários para que os polos do sistema de malha fechada tenham a posição desejada. Como já calculamos os polos no domínio discreto
, o polinômio controlador
será tal que estes são os zeros da função de transferência em malha fechada.
Portanto, o polinômio controlador pode ser escrito como:
Multiplicando os termos:
Calculando:
Passo 7
Assim, os polos do polinômio controlador
são exatamente os valores que encontramos para posicionar o sistema de malha fechada conforme desejado.
Resposta
Os polos do polinômio controlador
são as raízes do polinômio
, ou seja: