Seja um sistema duplo integrador dado por H(s). Sabe-se que o período de amostragem é De segundos. Assume-se que os polos do sistema de malha fechada possuem dinâmica compatível com frequência natural não amortecida omegan=1 e coeficiente de amortecimento xi=0,5 e que os polos do polinômio observador Ao(z) estão todos em 0,5 .
H(s)=1s^2
Determine os polos do polinômio controlador Ac(z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre sistemas de controle, especificamente um sistema duplo integrador representado por . O período de amostragem é segundos. Queremos encontrar os polos do polinômio controlador .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como polos do sistema, frequência natural ( ), coeficiente de amortecimento ( ) e como esses se relacionam no domínio discreto (com transformada Z). Também precisaremos usar algumas fórmulas de transformação para converter do domínio contínuo para o discreto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um sistema duplo integrador . Isso indica que o sistema tem dois polos no ponto , ou seja, é um sistema de segunda ordem sem amortecimento natural no domínio contínuo.

Passo 3

Agora, a frequência natural não amortecida s = -xi omegan pm omegan raizxi^2 - 1 rad/s e o coeficiente de amortecimento s = -0,5 pm j cdot raiz1 - 0,25 = -0,5 pm j cdot raiz0,75 = -0,5 pm j cdot 0,866 nos dizem como os polos do sistema de malha fechada estão posicionados no plano . Para um sistema de segunda ordem, os polos são dados por:
Como é menor que 1, temos polos complexos conjugados:

Passo 4

Agora, precisamos transformar esses polos do domínio contínuo para o domínio discreto usando o período de amostragem z = e^(-0,5 pm j0,866) cdot 0,5 = e^-0,25 pm j0,433 segundos. A transformação mais comum para isso é a Transformada Bilinear ou a Transformada Z usando z = e^-0,25 [ cos(0,433) pm j sin(0,433) ] .
Usando e^-0,25 approx 0,7788 , onde cos(0,433) approx 0,907 , temos:
sin(0,433) approx 0,421
Isso pode ser escrito como:
z approx 0,7788 cdot (0,907 pm j0,421) approx 0,706 pm j0,328
Calculando os valores:
Então,
Portanto, os polos no domínio discreto são aproximadamente .

Passo 5

Sabemos que os polos do polinômio observador estão todos em 0,5. Isso significa que o observador é projetado para ter polos reais e iguais a 0,5 no domínio discreto.
Para determinar os polos do controlador , precisamos garantir que o controlador posicione os polos do sistema de malha fechada conforme calculado. Considerando que o sistema é um duplo integrador e que já temos os polos do observador, o controlador deve ser desenhado para cancelar a dinâmica indesejada e posicionar os polos no lugar certo.

Passo 6

No caso de um sistema duplo integrador, o controlador geralmente é projetado para adicionar os ganhos necessários para que os polos do sistema de malha fechada tenham a posição desejada. Como já calculamos os polos no domínio discreto Ac(z) = (z - z1)(z - z2) = (z - (0,706 + j0,328))(z - (0,706 - j0,328)) , o polinômio controlador Ac(z) = z^2 - 2 cdot 0,706 z + (0,706)^2 + (0,328)^2 será tal que estes são os zeros da função de transferência em malha fechada.
Portanto, o polinômio controlador pode ser escrito como:
Ac(z) = z^2 - 1,412 z + 0,498 + 0,107 = z^2 - 1,412 z + 0,605
Multiplicando os termos:
Calculando:

Passo 7

Assim, os polos do polinômio controlador são exatamente os valores que encontramos para posicionar o sistema de malha fechada conforme desejado.

Resposta

Os polos do polinômio controlador Ac(z) = z^2 - 1,412 z + 0,605 são as raízes do polinômio , ou seja:

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