Determinar a resposta em regime estacionário do sistema, caracterizada por sua série de Fourier, considerando que o comportamento do circuito é modelado pela EDO:
R C d vcd t+vc=vr e t
com R=10 Omega e C=0,01 F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer determinar a resposta em regime estacionário de um circuito RC, que é basicamente um resistor e um capacitor. A equação que descreve esse sistema é uma equação diferencial ordinária (EDO):
R C d vcd t + vc = vret
Aqui, e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e séries de Fourier, que ajudam a analisar sinais periódicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
R C d vcd t + vc = vret
Essa é uma EDO de primeira ordem que relaciona a tensão no capacitor ( ) com a tensão de entrada ( ). Nosso objetivo é encontrar em regime estacionário, ou seja, quando o sistema já “se acomodou” e o comportamento é periódico.

Passo 3

Como o exercício menciona a série de Fourier, vamos assumir que vret(t) = a0 + sumn=1^infty ( an cos(n omega t) + bn sin(n omega t) ) é um sinal periódico que pode ser representado como uma soma de senos e cossenos. A série de Fourier de um sinal periódico é dada por:
Onde é a frequência fundamental do sinal.

Passo 4

O próximo passo é encontrar a resposta do circuito para cada componente da série de Fourier. Como a EDO é linear, podemos resolver para cada termo individualmente e depois somar as respostas.
Vamos substituir a série de Fourier na EDO:
R C d vc(t)d t + vc(t) = a0 + sumn=1^infty ( an cos(n omega t) + bn sin(n omega t) )

Passo 5

Para cada termo da série, resolvemos a equação diferencial. Assumindo uma solução particular para cada termo harmônico, por exemplo, para vc,n(t) = anraiz1 + (n omega R C)^2 cos(n omega t - phin) , a resposta será da forma:
Onde é o ângulo de fase.

Passo 6

Somando todas as respostas individuais, obtemos a resposta total do circuito em regime estacionário:
vc(t) = a0 + sumn=1^infty anraiz1 + (n omega R C)^2 cos(n omega t - phin) + bnraiz1 + (n omega R C)^2 sin(n omega t - phin)

Resposta

A resposta em regime estacionário do sistema é dada pela soma das contribuições de cada harmônico da série de Fourier da seguinte forma:
vc(t) = a0 + sumn=1^infty anraiz1 + (n omega R C)^2 cos(n omega t - arctan(n omega R C)) + bnraiz1 + (n omega R C)^2 sin(n omega t - arctan(n omega R C))

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