Determinar a resposta em regime estacionário do sistema, caracterizada por sua série de Fourier, considerando que o comportamento do circuito é modelado pela EDO:
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer determinar a resposta em regime estacionário de um circuito RC, que é basicamente um resistor e um capacitor. A equação que descreve esse sistema é uma equação diferencial ordinária (EDO):
Aqui,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e séries de Fourier, que ajudam a analisar sinais periódicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Essa é uma EDO de primeira ordem que relaciona a tensão no capacitor (
) com a tensão de entrada (
). Nosso objetivo é encontrar
em regime estacionário, ou seja, quando o sistema já “se acomodou” e o comportamento é periódico.
Passo 3
Como o exercício menciona a série de Fourier, vamos assumir que
é um sinal periódico que pode ser representado como uma soma de senos e cossenos. A série de Fourier de um sinal periódico
é dada por:
Onde
é a frequência fundamental do sinal.
Passo 4
O próximo passo é encontrar a resposta do circuito para cada componente da série de Fourier. Como a EDO é linear, podemos resolver para cada termo individualmente e depois somar as respostas.
Vamos substituir a série de Fourier na EDO:
Passo 5
Para cada termo da série, resolvemos a equação diferencial. Assumindo uma solução particular para cada termo harmônico, por exemplo, para
, a resposta
será da forma:
Onde
é o ângulo de fase.
Passo 6
Somando todas as respostas individuais, obtemos a resposta total do circuito em regime estacionário:
Resposta
A resposta em regime estacionário do sistema é dada pela soma das contribuições de cada harmônico da série de Fourier da seguinte forma: