Seja o sistema S_{1}:\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\\ x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=5 \\\\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2\end{array}\right..
Verifique se (0,0,0) é solução de S_{1}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
S_{1}:\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}-2x_{2}+x_{3}=5,\\[4pt] -x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2, \end{cases}
e pergunta se o vetor (0,0,0) é solução de S_{1}.
Informações relevantes: os coeficientes e os termos independentes (lado direito) de cada equação estão indicados acima. O que se pede é verificar se ao substituir x_{1}=0, x_{2}=0 e x_{3}=0 todas as equações ficam verdadeiras.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser solução de um sistema: um vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) é solução de S_{1} se, ao substituir essas coordenadas nas três equações do sistema, cada igualdade for satisfeita (isto é, o lado esquerdo se tornar exatamente igual ao lado direito em todas as equações). Aqui vamos checar essa condição para (0,0,0).

Passo 3

Substituímos (x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0) na primeira equação 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0. Calculando o lado esquerdo:
2\cdot 0 + 3\cdot 0 - 0 = 0.
O lado direito da primeira equação é 0. Portanto a primeira equação é satisfeita pela substituição.

Passo 4

Agora substituímos na segunda equação x_{1}-2x_{2}+x_{3}=5. Calculando o lado esquerdo:
0 - 2\cdot 0 + 0 = 0.
O lado direito da segunda equação é 5. Comparando, 0 \neq 5, logo a segunda equação NÃO é satisfeita por (0,0,0).

Passo 5

Substituímos na terceira equação -x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2. Calculando o lado esquerdo:
-0 + 0 + 0 = 0.
O lado direito da terceira equação é -2. Comparando, 0 \neq -2, então a terceira equação também NÃO é satisfeita por (0,0,0).

Passo 6

Conclusão lógica: para que um vetor seja solução do sistema é preciso satisfazer todas as equações simultaneamente. Aqui a primeira equação é satisfeita, mas a segunda e a terceira não são. Portanto (0,0,0) não satisfaz o sistema inteiro.

Resposta

Não, (0,0,0) não é solução de S_{1}.

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