Seja o sistema de primeira ordem descrito por:
, com
.
a) Plote a resposta do sistema ao degrau unitário para
e 2 .
a) Plote a resposta do sistema ao degrau unitário para
Passo 1
O enunciado pede para plotar a resposta ao degrau unitário do sistema de primeira ordem dado por
com
, para três valores de ganho:
,
e
.
Informações fornecidas:
- Função de transferência do sistema:
. - Constante de tempo:
. - Entrada: degrau unitário, isto é
. - Valores de
a serem avaliados: , e .
O que é pedido:
- Obter a resposta no domínio do tempo
para cada e plotá-la (ou seja, descrever como traçar as curvas).
Passo 2
Estratégia e transformada de Laplace (sem pular etapas).
Para encontrar a resposta ao degrau calculamos . Escrevendo isso com
:
Para encontrar a resposta ao degrau calculamos
Portanto
Agora vamos inverter a transformada de Laplace para obter
. Vou mostrar passo a passo a técnica de frações parciais, que é a forma padrão para inverter razões racionais simples.
Passo 3
Decomposição em frações parciais e inverse Laplace.
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Multiplicando por
obtemos
Como essa igualdade vale para todo
, igualamos coeficientes:
- termo constante:
, - coeficiente de
: .
Logo
Agora aplicamos a inversa da transformada de Laplace (lembrando das transformadas básicas:
e
):
Podemos escrever também
se quiser explicitar o degrau unitário
.
Passo 4
Interpretação física e propriedades úteis para desenhar o gráfico.
- Valor inicial:
. Ou seja, a saída começa em zero (para entrada degrau). - Valor final (estado estacionário):
. - Constante de tempo:
. A constante de tempo indica quão rápido o exponencial decai; em a resposta atinge aproximadamente do valor final. - Valor em
:
- Valor em
:
Essas informações permitem traçar a curva qualitativamente (início em 0, subida exponencial, atingindo
em
, quase
em
, assintoticamente chegando a
).
Passo 5
Valores numéricos úteis para plotagem (apenas para orientação, arredondei para 4 casas decimais).
Calculemos alguns pontos para cada .
Calculemos alguns pontos para cada
Em
(
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Em
(
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Em
: todos têm
.
Em :
(ou seja,
,
e
respectivamente).
Em
Passo 6
Como plotar (receitas práticas rápidas).
-
Plotagem à mão (esquema): desenhe o eixo
de a . No eixo vertical marque , , , . Para cada desenhe a curva : - passa por
, - em
atinge , - em
atinge , - assintoticamente aproxima-se do nível
.
- passa por
-
Plotagem no MATLAB/Octave:
t = linspace(0,5,201);
K = [0.5, 1, 2];
figure; hold on;
for k=K
y = k*(1 - exp(-t));
plot(t,y,'LineWidth',2);
end
legend('K_p=0.5','K_p=1','K_p=2');
xlabel('t (s)'); ylabel('y(t)');
grid on; hold off;
- Plotagem em Python (matplotlib):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0,5,201)
K = [0.5, 1, 2]
plt.figure()
for k in K:
y = k*(1 - np.exp(-t))
plt.plot(t,y,linewidth=2,label=f'K_p={k}')
plt.legend()
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('y(t)')
plt.grid(True)
plt.show()
Esses códigos geram as três curvas no mesmo gráfico, cada uma tendendo ao seu respectivo
.
Passo 7
Recapitulando o resultado derivado (fórmula geral) e dica de interpretação final.
A resposta no domínio do tempo para qualquer é
A resposta no domínio do tempo para qualquer
Isso mostra que variar
apenas escala verticalmente a resposta (altera o valor final), sem mudar a rapidez da resposta porque a constante de tempo permanece
.