Seja o sistema de primeira ordem descrito por: G(s)=\frac{K_{p}}{\tau_{p} s+1}, com \tau_{\mathrm{p}}=1.
a) Plote a resposta do sistema ao degrau unitário para \mathrm{K}_{\mathrm{p}}=0,5,1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede para plotar a resposta ao degrau unitário do sistema de primeira ordem dado por G(s)=\dfrac{K_{p}}{\tau_{p}s+1} com \tau_{p}=1, para três valores de ganho: K_{p}=0{,}5, K_{p}=1 e K_{p}=2.
Informações fornecidas:
  • Função de transferência do sistema: G(s)=\dfrac{K_{p}}{\tau_{p}s+1}.
  • Constante de tempo: \tau_{p}=1.
  • Entrada: degrau unitário, isto é R(s)=\dfrac{1}{s}.
  • Valores de K_{p} a serem avaliados: 0{,}5, 1 e 2.
O que é pedido:
  • Obter a resposta no domínio do tempo y(t) para cada K_{p} e plotá-la (ou seja, descrever como traçar as curvas).

Passo 2

Estratégia e transformada de Laplace (sem pular etapas).
Para encontrar a resposta ao degrau calculamos Y(s)=G(s)\,R(s). Escrevendo isso com \tau_{p}=1:
G(s)=\frac{K_{p}}{s+1},\qquad R(s)=\frac{1}{s}.
Portanto
Y(s)=\frac{K_{p}}{s+1}\cdot\frac{1}{s}=\frac{K_{p}}{s(s+1)}.
Agora vamos inverter a transformada de Laplace para obter y(t). Vou mostrar passo a passo a técnica de frações parciais, que é a forma padrão para inverter razões racionais simples.

Passo 3

Decomposição em frações parciais e inverse Laplace.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{K_{p}}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por s(s+1) obtemos
K_{p}=A(s+1)+Bs=(A+B)s+A.
Como essa igualdade vale para todo s, igualamos coeficientes:
  • termo constante: A=K_{p},
  • coeficiente de s: A+B=0 \Rightarrow B=-A=-K_{p}.
Logo
\frac{K_{p}}{s(s+1)}=\frac{K_{p}}{s}-\frac{K_{p}}{s+1}.
Agora aplicamos a inversa da transformada de Laplace (lembrando das transformadas básicas: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}):
y(t)=K_{p}\cdot 1 - K_{p}\cdot e^{-t}=K_{p}\bigl(1-e^{-t}\bigr),\qquad t\ge 0.
Podemos escrever também y(t)=K_{p}\bigl(1-e^{-t}\bigr)u(t) se quiser explicitar o degrau unitário u(t).

Passo 4

Interpretação física e propriedades úteis para desenhar o gráfico.
  • Valor inicial: \displaystyle y(0)=K_{p}\bigl(1-e^{0}\bigr)=0. Ou seja, a saída começa em zero (para entrada degrau).
  • Valor final (estado estacionário): \displaystyle y(\infty)=K_{p}.
  • Constante de tempo: \tau=1. A constante de tempo indica quão rápido o exponencial decai; em t=\tau a resposta atinge aproximadamente 63{,}2\% do valor final.
  • Valor em t=\tau=1:
y(1)=K_{p}\bigl(1-e^{-1}\bigr)=K_{p}\cdot 0{,}6321205588\ldots\approx K_{p}\cdot 0{,}632.
  • Valor em t=3\tau=3:
y(3)=K_{p}\bigl(1-e^{-3}\bigr)\approx K_{p}\cdot 0{,}950213.
Essas informações permitem traçar a curva qualitativamente (início em 0, subida exponencial, atingindo 63{,}2\% em t=1, quase 95\% em t=3, assintoticamente chegando a K_{p}).

Passo 5

Valores numéricos úteis para plotagem (apenas para orientação, arredondei para 4 casas decimais).
Calculemos alguns pontos para cada K_{p}.
Em t=1 ( 1-e^{-1}\approx 0{,}6321):
  • Para K_{p}=0{,}5: y(1)\approx 0{,}5\cdot 0{,}6321=0{,}3161.
  • Para K_{p}=1: y(1)\approx 0{,}6321.
  • Para K_{p}=2: y(1)\approx 1{,}2642.
Em t=3 ( 1-e^{-3}\approx 0{,}9502):
  • Para K_{p}=0{,}5: y(3)\approx 0{,}4751.
  • Para K_{p}=1: y(3)\approx 0{,}9502.
  • Para K_{p}=2: y(3)\approx 1{,}9004.
Em t=0: todos têm y(0)=0.
Em t\to\infty: y(\infty)=K_{p} (ou seja, 0{,}5, 1 e 2 respectivamente).

Passo 6

Como plotar (receitas práticas rápidas).
  1. Plotagem à mão (esquema): desenhe o eixo t de 0 a 5. No eixo vertical marque 0, 0{,}5, 1, 2. Para cada K_{p} desenhe a curva y(t)=K_{p}(1-e^{-t}):
    • passa por (0,0),
    • em t=1 atinge 0{,}632\cdot K_{p},
    • em t=3 atinge 0{,}950\cdot K_{p},
    • assintoticamente aproxima-se do nível K_{p}.
  2. Plotagem no MATLAB/Octave:
t = linspace(0,5,201);
K = [0.5, 1, 2];
figure; hold on;
for k=K
  y = k*(1 - exp(-t));
  plot(t,y,'LineWidth',2);
end
legend('K_p=0.5','K_p=1','K_p=2');
xlabel('t (s)'); ylabel('y(t)');
grid on; hold off;
  1. Plotagem em Python (matplotlib):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0,5,201)
K = [0.5, 1, 2]
plt.figure()
for k in K:
    y = k*(1 - np.exp(-t))
    plt.plot(t,y,linewidth=2,label=f'K_p={k}')
plt.legend()
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('y(t)')
plt.grid(True)
plt.show()
Esses códigos geram as três curvas no mesmo gráfico, cada uma tendendo ao seu respectivo K_{p}.

Passo 7

Recapitulando o resultado derivado (fórmula geral) e dica de interpretação final.
A resposta no domínio do tempo para qualquer K_{p} é
y(t)=K_{p}\bigl(1-e^{-t}\bigr),\qquad t\ge 0.
Isso mostra que variar K_{p} apenas escala verticalmente a resposta (altera o valor final), sem mudar a rapidez da resposta porque a constante de tempo permanece \tau=1.

Resposta

y(t)=0{,}5\bigl(1-e^{-t}\bigr)
y(t)=1\bigl(1-e^{-t}\bigr)
y(t)=2\bigl(1-e^{-t}\bigr)

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