Seja o sistema de primeira ordem descrito por: G(s)=\frac{K_{p}}{\tau_{p} s+1}, com \tau_{\mathrm{p}}=1.
c) Seja o mesmo sistema de primeira ordem, com \tau_{p}=1, plote a resposta do sistema ao impulso unitário para K_{p} =0,5,1 e 2.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de primeira ordem
G(s)=\frac{K_{p}}{\tau_{p}s+1},
com \tau_{p}=1. A tarefa é: “plote a resposta do sistema ao impulso unitário para \,K_{p}=0,5,\,1 e 2.”
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de transferência é \displaystyle G(s)=\frac{K_{p}}{\tau_{p}s+1}.
  • O parâmetro de tempo é \tau_{p}=1.
  • Os valores de ganho a considerar são \,K_{p}=0,5,\,1 e 2.
  • O que se pede é a resposta ao impulso unitário (entrada \delta(t)), ou seja, a saída quando a entrada é um impulso unitário.

Passo 2

Entendendo o que é “resposta ao impulso unitário” e como obtê-la (aulas rápidas de Laplace, passo a passo).
  • A entrada impulso unitário é \delta(t). A transformada de Laplace do impulso é \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
  • Se a entrada tem Laplace U(s), a saída em s é Y(s)=G(s)U(s). Para entrada impulso temos U(s)=1, logo Y(s)=G(s).
  • Portanto a resposta ao impulso é simplesmente a transformada inversa de Laplace de G(s): h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
  • Lembrete de fórmula útil de Laplace (essencial aqui): para a>0, \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\frac{1}{s+a}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}u(t).Aqui u(t) é a função degrau unitário (implicita na resposta causal).

Passo 3

Aplicando a inversa de Laplace ao nosso G(s) (álgebra passo a passo).
  • Reescrevendo G(s) para evidenciar uma forma \dfrac{1}{s+a}: G(s)=\frac{K_{p}}{\tau_{p}s+1} =\frac{K_{p}}{\tau_{p}}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{\tau_{p}}}.
  • Tomando a inversa de Laplace e incluindo u(t) (causalidade): h(t)=\frac{K_{p}}{\tau_{p}}\,e^{-\tfrac{t}{\tau_{p}}}u(t).
  • Como \tau_{p}=1, isso simplifica muito. Substituindo \tau_{p}=1: h(t)=K_{p}e^{-t}u(t).Ou seja, a resposta ao impulso é uma exponencial decrescente com amplitude inicial igual a K_{p} e constante de tempo \tau=1.

Passo 4

Escrevendo explicitamente as três respostas pedidas e comentando propriedades importantes (para saber o que observar no gráfico).
  • Para \,K_{p}=0,5: h_{0,5}(t)=0,5\,e^{-t}u(t).
  • Para \,K_{p}=1: h_{1}(t)=1\cdot e^{-t}u(t)=e^{-t}u(t).
  • Para \,K_{p}=2: h_{2}(t)=2\,e^{-t}u(t).
Propriedades úteis para interpretar o gráfico:
  • Valor inicial (em t=0^{+}): h(0^{+})=K_{p}.
  • Forma: todas as três curvas têm a mesma taxa de decaimento (mesma constante de tempo \tau=1), diferindo apenas pela amplitude inicial (proporcionais a K_{p}).
  • Constante de tempo \tau=1: após t=1 cada resposta vale h(t)=K_{p}e^{-1} \approx K_{p}\cdot 0,3679.
  • Área total (integral da resposta ao impulso) é igual ao ganho em DC G(0): \int_{0}^{\infty} h(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}K_{p}e^{-t}dt=K_{p}.Então a área sob cada curva é precisamente K_{p}.
  • Tempo para reduzir à metade da amplitude inicial (meia-vida): t_{1/2}=\tau\ln 2\approx 0,693 (mesmo para todas porque \tau=1).

Passo 5

Valores numéricos de referência (pontos para marcar no gráfico) — cálculo passo a passo com arredondamento razoável.
  • Primeiro os valores de e^{-t} úteis: e^{0}=1,\quad e^{-0,5}\approx 0,6065,\quad e^{-1}\approx 0,3679,\quad e^{-2}\approx 0,1353,\quad e^{-3}\approx 0,0498.
  • Multiplicando por K_{p} obtemos tabelas (aproximadas, 4 casas decimais):
\begin{array}{c|ccccc} t & 0 & 0,5 & 1 & 2 & 3\\hline h_{0,5}(t)=0,5e^{-t} & 0,5000 & 0,3033 & 0,1839 & 0,0677 & 0,0249\\\ h_{1}(t)=e^{-t} & 1,0000 & 0,6065 & 0,3679 & 0,1353 & 0,0498\\\ h_{2}(t)=2e^{-t} & 2,0000 & 1,2131 & 0,7358 & 0,2707 & 0,0996 \end{array}
Esses pontos servem para traçar manualmente as curvas ou verificar a plotagem num software.

Passo 6

Como plotar na prática (código pronto — copie e cole no seu ambiente preferido).
Opção MATLAB / Octave:
t = 0:0,01:5;
K = [0,5 1 2];
figure;
hold on;
for k = 1:length(K)
  h = K(k)*exp(-t);
  plot(t,h,'LineWidth',1, 'DisplayName', ['K_p=' num2str(K(k))]);
end
xlabel('t (s)');
ylabel('h(t)');
title('Resposta ao impulso: h(t)=K_p e^{-t}');
legend('show');
grid on;
Opção Python (matplotlib + numpy):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0,5,501)
K = [0.5, 1.0, 2.0]
plt.figure()
for kp in K:
    h = kp * np.exp(-t)
    plt.plot(t, h, linewidth=1.5, label=f'K_p={kp}')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('h(t)')
plt.title('Resposta ao impulso: h(t)=K_p e^{-t}')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dicas para o gráfico:
  • Use intervalo de tempo t\in[0,5] ou t\in[0,6] para ver o decaimento completo (após t=5 já está bem próximo de zero).
  • Marque pontos em t=0,\,0,5,\,1,\,2,\,3 usando os valores da tabela para verificar que tudo bate.
  • As três curvas terão o mesmo formato (mesma inclinação na escala semilog), apenas amplitudes diferentes.

Resposta

h_{0,5}(t)=0,5\,e^{-t}u(t)
h_{1}(t)=e^{-t}u(t)
h_{2}(t)=2\,e^{-t}u(t)

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