Seja o sistema de primeira ordem descrito por:
, com
.
c) Seja o mesmo sistema de primeira ordem, com
, plote a resposta do sistema ao impulso unitário para
e 2.
c) Seja o mesmo sistema de primeira ordem, com
Passo 1
O enunciado dá o sistema de primeira ordem
com
. A tarefa é: “plote a resposta do sistema ao impulso unitário para
e
.”
Informações relevantes fornecidas:
- A função de transferência é
. - O parâmetro de tempo é
. - Os valores de ganho a considerar são
e . - O que se pede é a resposta ao impulso unitário (entrada
), ou seja, a saída quando a entrada é um impulso unitário.
Passo 2
Entendendo o que é “resposta ao impulso unitário” e como obtê-la (aulas rápidas de Laplace, passo a passo).
- A entrada impulso unitário é
. A transformada de Laplace do impulso é . - Se a entrada tem Laplace
, a saída em é . Para entrada impulso temos , logo . - Portanto a resposta ao impulso é simplesmente a transformada inversa de Laplace de
: - Lembrete de fórmula útil de Laplace (essencial aqui): para
, Aqui é a função degrau unitário (implicita na resposta causal).
Passo 3
Aplicando a inversa de Laplace ao nosso
(álgebra passo a passo).
- Reescrevendo
para evidenciar uma forma : - Tomando a inversa de Laplace e incluindo
(causalidade): - Como
, isso simplifica muito. Substituindo : Ou seja, a resposta ao impulso é uma exponencial decrescente com amplitude inicial igual a e constante de tempo .
Passo 4
Escrevendo explicitamente as três respostas pedidas e comentando propriedades importantes (para saber o que observar no gráfico).
- Para
: - Para
: - Para
:
Propriedades úteis para interpretar o gráfico:
- Valor inicial (em
): . - Forma: todas as três curvas têm a mesma taxa de decaimento (mesma constante de tempo
), diferindo apenas pela amplitude inicial (proporcionais a ). - Constante de tempo
: após cada resposta vale . - Área total (integral da resposta ao impulso) é igual ao ganho em DC
: Então a área sob cada curva é precisamente . - Tempo para reduzir à metade da amplitude inicial (meia-vida):
(mesmo para todas porque ).
Passo 5
Valores numéricos de referência (pontos para marcar no gráfico) — cálculo passo a passo com arredondamento razoável.
- Primeiro os valores de
úteis: - Multiplicando por
obtemos tabelas (aproximadas, 4 casas decimais):
Esses pontos servem para traçar manualmente as curvas ou verificar a plotagem num software.
Passo 6
Como plotar na prática (código pronto — copie e cole no seu ambiente preferido).
Opção MATLAB / Octave:
t = 0:0,01:5;
K = [0,5 1 2];
figure;
hold on;
for k = 1:length(K)
h = K(k)*exp(-t);
plot(t,h,'LineWidth',1, 'DisplayName', ['K_p=' num2str(K(k))]);
end
xlabel('t (s)');
ylabel('h(t)');
title('Resposta ao impulso: h(t)=K_p e^{-t}');
legend('show');
grid on;
Opção Python (matplotlib + numpy):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0,5,501)
K = [0.5, 1.0, 2.0]
plt.figure()
for kp in K:
h = kp * np.exp(-t)
plt.plot(t, h, linewidth=1.5, label=f'K_p={kp}')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('h(t)')
plt.title('Resposta ao impulso: h(t)=K_p e^{-t}')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Dicas para o gráfico:
- Use intervalo de tempo
ou para ver o decaimento completo (após já está bem próximo de zero). - Marque pontos em
usando os valores da tabela para verificar que tudo bate. - As três curvas terão o mesmo formato (mesma inclinação na escala semilog), apenas amplitudes diferentes.