Seja E subset R^3 um subespaço vetorial. Se (1,3,2) e (-5,7,1) são vetores de E, mas (1,1,2) notin E, determine dim E.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos um subespaço vetorial dentro de . Sabemos que os vetores e pertencem a , mas o vetor não está em . Nosso objetivo é descobrir qual é a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores na sua base, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que ele contém. Então, precisamos verificar se os vetores e são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
a(1,3,2) + b(-5,7,1) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a - 5b = 0 3a + 7b = 0 2a + b = 0
Resolvendo esse sistema, a única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos dois vetores linearmente independentes em , a dimensão de é pelo menos 2. Agora, como está dentro de e não está em , isso indica que não é igual a , ou seja, sua dimensão não pode ser 3.

Passo 5

Portanto, concluímos que a dimensão de é 2, já que temos dois vetores independentes e não é o espaço todo.

Resposta

A dimensão de é 2.

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