1. Seja f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}=1+\frac{1}{1!} z+\frac{1}{2!} z^{2}+\ldots+\frac{1}{n!} z^{n}+\ldots Mostre que o raio de convergência desta série é infinito e conclua f(z)=e^{z}, para todo z \in \mathbb{C}, ou seja, vale a identidade
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!},
em todos os pontos do plano \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}
e pede para mostrarmos que o raio de convergência dessa série de potências é infinito e, em seguida, concluir que
f(z)=e^z\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Usamos o critério da razão. Seja a_n=\frac{z^n}{n!}. Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{\,z^n/n!\!}\right| =\frac{|z|}{n+1}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0<1 para todo z, concluímos que o raio de convergência é R=\infty.

Passo 3

Por convergir absolutamente em todo \mathbb{C}, a série define uma função inteira e pode ser diferenciada termo a termo. Assim,
f'(z) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,z^{n-1}}{n!} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^m}{m!} =f(z).
Além disso, f(0)=1.

Passo 4

O problema de valor inicial
y'=y,\quad y(0)=1
tem solução única dada pela função exponencial y(z)=e^z. Portanto, a série original é exatamente essa função, ou seja,
f(z)=e^z \quad\Longrightarrow\quad e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},
válido para todo z\in\mathbb{C}.

Resposta

O raio de convergência é infinito e vale a identidade
e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}
para todo z\in\mathbb{C}.

Exercícios relacionados