Seja f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}=1+\frac{1}{1!} z+\frac{1}{2!} z^{2}+\ldots+\frac{1}{n!} z^{n}+\ldots Mostre que o raio de convergência desta série é infinito e conclua f(z)=e^{z}, para todo z \in \mathbb{C}, ou seja, vale a identidade
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!},
em todos os pontos do plano \mathbb{C}.
Passo 1
O enunciado define a função
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}
e pede para mostrarmos que o raio de convergência dessa série de potências é infinito e, em seguida, concluir que
f(z)=e^z\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.
Passo 2
Usamos o critério da razão. Seja a_n=\frac{z^n}{n!}. Então