Seja sumn=1^infty an x^n uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: b) ( ) sumn=1^infty(-1)^n an é convergente;

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma série de potências sumn=1^infty an x^n com raio de convergência igual a 2. Nosso objetivo é verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n an é necessariamente convergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o raio de convergência de uma série de potências sumn=1^infty an x^n indica o intervalo de valores de x para os quais a série converge. Com um raio de convergência R = 2, isso significa que a série converge para todos os valores de x tais que |x| < 2.

Passo 3

Agora, queremos analisar a série sumn=1^infty (-1)^n an. Podemos observar que esta série é equivalente a avaliar a série original no ponto x = -1, ou seja:
sumn=1^infty (-1)^n an = sumn=1^infty an (-1)^n
Isso significa que estamos substituindo x por -1 na série de potências.

Passo 4

Verificamos se x = -1 está dentro do raio de convergência. Calculando o valor absoluto:
|x| = |-1| = 1
Como 1 < 2, o valor de x = -1 está dentro do raio de convergência da série. Portanto, a série sumn=1^infty an (-1)^n converge absolutamente.

Passo 5

Dado que a série converge absolutamente para x = -1, concluímos que a série sumn=1^infty (-1)^n an é convergente.

Resposta

Verdadeira.

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