Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: b) ( )
é convergente;
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma série de potências
com raio de convergência igual a 2. Nosso objetivo é verificar se a série
é necessariamente convergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o raio de convergência de uma série de potências
indica o intervalo de valores de
para os quais a série converge. Com um raio de convergência
, isso significa que a série converge para todos os valores de
tais que
.
Passo 3
Agora, queremos analisar a série
. Podemos observar que esta série é equivalente a avaliar a série original no ponto
, ou seja:
Isso significa que estamos substituindo
por
na série de potências.
Passo 4
Verificamos se
está dentro do raio de convergência. Calculando o valor absoluto:
Como
, o valor de
está dentro do raio de convergência da série. Portanto, a série
converge absolutamente.
Passo 5
Dado que a série converge absolutamente para
, concluímos que a série
é convergente.
Resposta
Verdadeira.