Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)
(b) Considere os seguintes escalares -1,0,1 e raiz2. Quais deles são autovalores de T ?

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer! O exercício nos dá um operador linear que transforma vetores de para de uma forma específica. Nosso objetivo é descobrir quais dos números e são autovalores desse operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre operadores lineares e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Um autovalor de um operador linear satisfaz a equação , onde é um vetor não nulo chamado de autovetor. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que vem do determinante , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz de A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 . Dado que , a matriz de é:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 3 0 & 1 - lambda & 2 0 & 0 & 1 - lambda :

Passo 5

Calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)^3 :
Isso acontece porque a matriz é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica 1 - lambda = 0 implies lambda = 1 . Isso nos dá:
Então, o único autovalor de é .

Resposta

Dos escalares e , somente é um autovalor de .

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