Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-2 x_{4}\right., \left.x_{1}+4 x_{2}+x_{3}-x_{4}, \quad 2 x_{1}+8 x_{2}+2 x_{3}-2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+x_{2}-x_{3}-2x_{4},\; x_{1}+4x_{2}+x_{3}-x_{4},\; 2x_{1}+8x_{2}+2x_{3}-2x_{4}\bigr).
O que se pede: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores T(v) — equivalently, o posto (= rank) da transformação).
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{4}.
  • Contra-domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • As três componentes de T estão explícitas como combinações lineares de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 2

Conceito chave (explicando como pensar na prova): a dimensão da imagem de T é o posto (rank) da matriz que representa T nas bases canônicas. Essa matriz tem como linhas as coordenadas das componentes de T (ou, equivalentemente, como colunas as imagens dos vetores da base padrão). O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para encontrar o posto normalmente usamos eliminação de Gauss (redução por linhas) para contar linhas não nulas (ou pivôs). Vou aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Escrever a matriz A de T na base canônica (cada linha corresponde a uma das componentes de saída):
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 4 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 8 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Esta matriz aplica-se a \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} e produz o vetor em \mathbb{R}^{3}. O posto de A é a dimensão da imagem de T.]

Passo 4

Observação rápida útil (às vezes facilita na prova): verificar se alguma linha é múltipla de outra.
Compare a segunda e a terceira linha:
\text{linha 2} = \begin{pmatrix}1 & 4 & 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad \text{linha 3} = \begin{pmatrix}2 & 8 & 2 & -2\end{pmatrix}.
Note que \text{linha 3} = 2\cdot\text{linha 2}. Portanto a terceira linha é linearmente dependente da segunda. Isso já mostra que o posto é no máximo 2 (não pode ser 3 porque há dependência entre linhas).

Passo 5

Agora verificar se as primeiras duas linhas são linearmente independentes (para decidir se o posto é 1 ou 2). Faço eliminação de Gauss para deixar isso evidente.
Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 4 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 8 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Subtraio a linha 1 da linha 2 (operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}) e subtraio 2 vezes a linha 1 da linha 3 (operação: R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}). Isso dá:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 6 & 4 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora elimino na terceira linha usando a segunda: R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}. Calculando,
R_{3} = (0,6,4,2) - 2\cdot(0,3,2,1) = (0,6,4,2)-(0,6,4,2) = (0,0,0,0).
A matriz reduzida (em forma escalonada) é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação da redução: existem exatamente duas linhas não nulas (duas linhas com pivô). Isso significa que o posto de A é 2. Por definição, o posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes, e a eliminação mostrou duas linhas independentes. Assim a dimensão da imagem de T é 2.
Comentário de reforço (como usar na prova): uma maneira ainda mais rápida, quando a matriz não é muito grande, é checar relações óbvias entre linhas (aqui a terceira linha era 2 vezes a segunda) e depois testar se a primeira e a segunda são independentes (por exemplo resolvendo a\cdot\text{linha1}+b\cdot\text{linha2}=0 e mostrando a=b=0). Ambas as abordagens dão o mesmo resultado: posto 2.

Resposta

(C) 2