O que se pede: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores T(v) — equivalently, o posto (= rank) da transformação).
Informações relevantes dadas:
Domínio: \mathbb{R}^{4}.
Contra-domínio: \mathbb{R}^{3}.
As três componentes de T estão explícitas como combinações lineares de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Passo 2
Conceito chave (explicando como pensar na prova): a dimensão da imagem de T é o posto (rank) da matriz que representa T nas bases canônicas. Essa matriz tem como linhas as coordenadas das componentes de T (ou, equivalentemente, como colunas as imagens dos vetores da base padrão). O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para encontrar o posto normalmente usamos eliminação de Gauss (redução por linhas) para contar linhas não nulas (ou pivôs). Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Escrever a matriz A de T na base canônica (cada linha corresponde a uma das componentes de saída):
Esta matriz aplica-se a \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} e produz o vetor em \mathbb{R}^{3}. O posto de A é a dimensão da imagem de T.]
Passo 4
Observação rápida útil (às vezes facilita na prova): verificar se alguma linha é múltipla de outra.
Compare a segunda e a terceira linha:
Note que \text{linha 3} = 2\cdot\text{linha 2}. Portanto a terceira linha é linearmente dependente da segunda. Isso já mostra que o posto é no máximo 2 (não pode ser 3 porque há dependência entre linhas).
Passo 5
Agora verificar se as primeiras duas linhas são linearmente independentes (para decidir se o posto é 1 ou 2). Faço eliminação de Gauss para deixar isso evidente.
Subtraio a linha 1 da linha 2 (operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}) e subtraio 2 vezes a linha 1 da linha 3 (operação: R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}). Isso dá:
Interpretação da redução: existem exatamente duas linhas não nulas (duas linhas com pivô). Isso significa que o posto de A é 2. Por definição, o posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes, e a eliminação mostrou duas linhas independentes. Assim a dimensão da imagem de T é 2.
Comentário de reforço (como usar na prova): uma maneira ainda mais rápida, quando a matriz não é muito grande, é checar relações óbvias entre linhas (aqui a terceira linha era 2 vezes a segunda) e depois testar se a primeira e a segunda são independentes (por exemplo resolvendo a\cdot\text{linha1}+b\cdot\text{linha2}=0 e mostrando a=b=0). Ambas as abordagens dão o mesmo resultado: posto 2.