Seja
a transformação linear dada por (derivadas): Encontre a matriz
que representa
na base
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a matriz da transformação linear
na base
. A transformação
está definida por
. Como estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2 (
), a derivada quarta (
) de qualquer polinômio aqui será zero. Então, na prática,
. Para encontrar a matriz dessa transformação na base
, vamos aplicar
a cada elemento da base e expressar o resultado como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar
ao primeiro vetor da base, que é
. Calculando a derivada de
:
Então,
Agora, queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
:
Comparando os coeficientes, temos:
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar
ao segundo vetor da base, que é
. Calculando a derivada de
:
Então,
Queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
:
Comparando os coeficientes, vemos que:
Resolvendo, temos
,
, e
. Assim, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 4
Por último, vamos aplicar
ao terceiro vetor da base, que é
. Calculando a derivada de
:
Então,
Queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
:
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo, encontramos
,
, e
. Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
A matriz da transformação
na base
é: