Seja
a transformação linear que satisfaz:
е
.
Determine
. Assinale o valor de
.
(A) 3
(B) 2
© 1
(D) 0
(E) Não sei
Determine
(A) 3
(B) 2
© 1
(D) 0
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
que transforma vetores do plano
para o espaço
. Sabemos que:
Queremos descobrir qual é a imagem do vetor
pela transformação
, ou seja, encontrar
. Nosso foco aqui é descobrir o valor de
.
Para resolver isso, vamos usar propriedades das transformações lineares e montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar
.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Vamos supor que
seja dada por uma matriz
de tamanho
:
Então, a transformação
aplicada a um vetor
é:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que o exercício nos deu para montar equações. Sabemos que:
Isso nos dá:
E também:
Que resulta em:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os elementos da matriz
a11 - 2a12 = 0 -2a11 + 5a12 = 1 .
Primeiro, para a primeira linha:
Da primeira equação, podemos isolar
-2(2a12) + 5a12 = 1 -4a12 + 5a12 = 1 a12 = 1 :
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 5
Vamos agora para a segunda linha das transformações:
Isolando
a21 = 1 + 2a22 na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 6
Agora, vamos para a terceira linha:
Isolando
a31 = 3 + 2a32 na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 7
Agora que temos todos os elementos da matriz
A = 2 & 1 -1 & -1 1 & -1 :
Vamos usar essa matriz para encontrar
:
Resposta
O valor de
é 1. Então, a resposta correta é a alternativa © 1.