Seja a Transformação Linear. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z).
a) Determine o núcleo da Transformação Linear.
b) Determine uma base para o núcleo se existir.
c) Determine a dimensão do núcleo.
d) Determine se a Transformação Linear é injetora ou não.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z) = (x - y + 4z,\; 3x + y + 8z).
O que o problema pede:
a) Determinar o núcleo de T (ou seja, o conjunto de vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0)).
b) Determinar uma base para o núcleo, se existir.
c) Determinar a dimensão do núcleo.
d) Dizer se T é injetora ou não.

Passo 2

O núcleo de T é o conjunto de soluções do sistema homogêneo obtido ao igualar as componentes a zero. Escrevendo isso explicitamente temos o sistema
\begin{cases} x - y + 4z = 0,\\[4pt] 3x + y + 8z = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por eliminação (método algébrico padrão para sistemas lineares) e parametrizar as soluções.]

Passo 3

Escrevo a matriz associada (sem coluna augmentada, pois é homogêneo):
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\[4pt] 3 & 1 & 8 \end{pmatrix},
que representa as equações em relação a (x,y,z). Agora aplico operações elementares nas linhas para resolver.]

Passo 4

Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Calculando componente a componente:
R_2 = (3,1,8) - 3(1,-1,4) = (3,1,8) - (3,-3,12) = (0,4,-4).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\[4pt] 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}.
Divido a segunda linha por 4 para simplificar: R_2 \leftarrow \frac{1}{4}R_2, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uso a segunda linha para eliminar o y da primeira: R_1 \leftarrow R_1 + R_2. Isso dá
R_1 = (1,-1,4) + (0,1,-1) = (1,0,3).
A forma reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
que corresponde ao sistema equivalente
\begin{cases} x + 3z = 0,\\[4pt] y - z = 0. \end{cases}]

Passo 6

Parametrizo as soluções escolhendo z como parâmetro livre. Seja z = t com t\in\mathbb{R}. Das equações obtemos
y = z = t,\qquad x = -3z = -3t.
Portanto todo vetor no núcleo tem a forma
(x,y,z) = t(-3,\,1,\,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Em linguagem de subespaços:
\ker(T) = \{\, t(-3,1,1) \mid t\in\mathbb{R}\,\} = \operatorname{span}\{(-3,1,1)\}.

Passo 7

Como o núcleo é o subespaço gerado por um único vetor não-nulo, uma base do núcleo é \{(-3,1,1)\}. A dimensão do núcleo (nullidade) é 1 (há um parâmetro livre). Quanto à injetividade: uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for \{(0,0,0)\}. Aqui o núcleo contém vetores não-nulos (por exemplo (-3,1,1)\neq(0,0,0)), logo T não é injetora.

Resposta

a) \ker(T)=\{\,t(-3,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\,\}.
b) Uma base do núcleo é \{(-3,1,1)\}.
c) \dim(\ker(T))=1.
d) T não é injetora.

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