Seja um triângulo equilátero cujos lados medem M. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triângulo forma-se um terceiro e assim por diante. Escrever um programa que, dados os valores de M (float) e N (int), calcula a soma dos perímetros dos N primeiros triângulos assim formados.
Passo 1
O enunciado pede a soma dos perímetros de N triângulos equiláteros formados recursivamente pelos pontos médios, partindo de um triângulo inicial de lado M. O conteúdo é progressão geométrica, pois a cada etapa o lado do triângulo diminui pela metade.
Passo 2
Em cada etapa k (1 ≤ k ≤ N), o lado do k-ésimo triângulo vale
. Isso acontece porque unindo-se pontos médios, o novo triângulo tem lado igual à metade do anterior.
O perímetro do k-ésimo triângulo é . Logo, a soma dos perímetros até N é a soma da série geométrica
O perímetro do k-ésimo triângulo é
Passo 3
Para somar a série geométrica usamos a fórmula
. Aqui
e
, logo
Resposta
A soma dos perímetros dos N primeiros triângulos é