Seja um triângulo equilátero cujos lados medem M. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triângulo forma-se um terceiro e assim por diante. Escrever um programa que, dados os valores de M (float) e N (int), calcula a soma dos perímetros dos N primeiros triângulos assim formados.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos perímetros de N triângulos equiláteros formados recursivamente pelos pontos médios, partindo de um triângulo inicial de lado M. O conteúdo é progressão geométrica, pois a cada etapa o lado do triângulo diminui pela metade.

Passo 2

Em cada etapa k (1 ≤ k ≤ N), o lado do k-ésimo triângulo vale Mk = M,(1/2)^k-1. Isso acontece porque unindo-se pontos médios, o novo triângulo tem lado igual à metade do anterior.
O perímetro do k-ésimo triângulo é Pk = 3,Mk = 3M,(1/2)^k-1. Logo, a soma dos perímetros até N é a soma da série geométrica
S = sumk=1^N Pk = sumk=1^N 3M,(1/2)^k-1

Passo 3

Para somar a série geométrica usamos a fórmula sumk=0^N-1 ar^k = a,(1-r^N)/(1-r). Aqui a=3M e r=1/2, logo
S = 3M 1-(1/2)^N1-1/2 = 3Mcdot 2l(1-(1/2)^Nr) = 6Ml(1-(1/2)^Nr)

Resposta

A soma dos perímetros dos N primeiros triângulos é
S = 6Ml(1-(tfrac12)^Nr)

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