Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre mathbb{R}.
Qual a diferença entre Multiplicidade Geométrica e Multiplicidade Algébrica?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar a diferença entre multiplicidade geométrica e multiplicidade algébrica num espaço vetorial de dimensão finita V sobre \mathbb{R}.
Informações dadas (resumidas, para não me perdermos):
  • Temos um espaço vetorial V de dimensão finita (digamos \dim V = n).
  • Normalmente vamos trabalhar com um endomorfismo linear T:V\to V ou com a matriz A\in M_{n}(\mathbb{R}) que representa T numa base.
  • A pergunta é conceitual: “qual a diferença entre multiplicidade geométrica e multiplicidade algébrica?” — ou seja, como cada uma é definida, como se calcula e qual a relação entre elas.

Passo 2

Definição de autovalor e autovetor (para lembrar a base do assunto)
  • Dizemos que \lambda\in\mathbb{C} é um autovalor de A (ou de T) se existe vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
  • Esse vetor v chama-se autovetor associado a \lambda.
  • O conjunto de todos os autovetores associados a \lambda, junto com o vetor zero, forma o espaço próprio (ou autoespaço, eigenspace)
E_\lambda = \ker(A-\lambda I).
Explicação didática: o espaço próprio é simplesmente o conjunto de vetores que são “esticados” por A pelo fator \lambda. Para achar E_\lambda na prática, resolvemos o sistema linear (A-\lambda I)x=0 e encontramos a dimensão dessa solução.

Passo 3

Definição de multiplicidade algébrica
  • A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico.
  • O polinômio característico é
p_A(t)=\det(A-tI).
  • Se p_A(t) fatorar (em \mathbb{C}[t]) como
p_A(t)=(t-\lambda)^{m}\cdot q(t),
onde q(\lambda)\neq 0, então dizemos que a multiplicidade algébrica de \lambda é m.
Como calcular na prova: calcular \det(A-tI), fatorar (ou contar multiplicidades), e ler o expoente de (t-\lambda).
Exemplo curto: para A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} temos p_A(t)=(2-t)^2. A multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2.

Passo 4

Definição de multiplicidade geométrica
  • A multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do espaço próprio E_\lambda:
\text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)=\dim\big(\ker(A-\lambda I)\big).
Como calcular na prova: montar a matriz A-\lambda I, reduzir por linhas (eliminação de Gauss) e contar o número de variáveis livres — ou usar a fórmula rank-nullity
\dim\ker(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I).
Exemplo curto: para A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} temos A-2I=0, então \ker(A-2I)=\mathbb{R}^2 e a multiplicidade geométrica de 2 é 2.

Passo 5

Relação entre as duas multiplicidades (enunciado principal)
  • Sempre vale
\text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)\le \text{mult}_{\text{alg}}(\lambda).
Explicação intuitiva e “amigável”: pense em blocos de Jordan (ou em termos de generalização): cada bloco de Jordan associado a \lambda fornece exatamente um autovetor (um gerador de espaço próprio), mas pode ter tamanho maior que 1. A multiplicidade algébrica é a soma dos tamanhos desses blocos; a multiplicidade geométrica é o número de blocos. Como o número de blocos é menor ou igual à soma de seus tamanhos, obtemos a desigualdade.
Breve esboço do porquê (para a prova): se você trabalhar sobre \mathbb{C} (campo algébriacamente fechado), toda matriz é similar a uma forma de Jordan. Para um autovalor \lambda, suponha que haja k blocos de Jordan cujos tamanhos somam m. Então m é a multiplicidade algébrica e k é a multiplicidade geométrica. Cada bloco dá um único autovetor independente, logo k\le m.

Passo 6

Exemplos que ilustram a diferença (com cálculos passo a passo)
Exemplo 1 — caso igual (diagonalizável):
  • A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}.
  • Calcule p_A(t)=\det(A-tI)=(2-t)^2. Logo \text{mult}_{\text{alg}}(2)=2.
  • Calcule A-2I=0. Então \ker(A-2I)=\mathbb{R}^2 e \text{mult}_{\text{geom}}(2)=2.
  • Aqui \text{mult}_{\text{geom}}(2)=\text{mult}_{\text{alg}}(2). Isso é típico quando a matriz é diagonalizável.
Exemplo 2 — caso estrito (não diagonalizável, bloco de Jordan):
  • A=\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&2\end{pmatrix}.
  • p_A(t)=\det(A-tI)=(2-t)^2. Então \text{mult}_{\text{alg}}(2)=2.
  • Calcule A-2I=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
  • Resolver (A-2I)x=0. Se x=(x_1,x_2)^T, a equação dá x_2=0 e x_1 livre. Logo \ker(A-2I)=\text{span}\{(1,0)^T\} e \dim\ker(A-2I)=1.
  • Assim \text{mult}_{\text{geom}}(2)=1 e \text{mult}_{\text{alg}}(2)=2. Aqui a desigualdade é estrita.]

Passo 7

Consequências práticas e dica de prova/exame (passo-a-passo para aplicar numa questão)
  • Passo A: calcule o polinômio característico p_A(t)=\det(A-tI) e fatorize (em \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Para cada raiz \lambda leia a multiplicidade algébrica como o expoente de (t-\lambda).
  • Passo B: para cada autovalor \lambda, calcule a matriz A-\lambda I, reduza por linhas e encontre \dim\ker(A-\lambda I). Esse número é a multiplicidade geométrica.
  • Critério de diagonalizabilidade: A é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor \lambda
\text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)=\text{mult}_{\text{alg}}(\lambda),
ou equivalente: a soma das multiplicidades geométricas (sobre todos os autovalores) é n.
  • Dica prática: calcular \operatorname{rank}(A-\lambda I) e usar \dim\ker(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I) costuma ser mais rápido que achar explicitamente uma base do núcleo.

Passo 8

Resumo conceitual (para ficar na cabeça)
  • Multiplicidade algébrica: “quantas vezes \lambda aparece no polinômio característico” — é um número obtido fatorando p_A(t).
  • Multiplicidade geométrica: “quantos autovetores independentes \lambda tem” — é a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I).
  • Sempre: \text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)\le\text{mult}_{\text{alg}}(\lambda). Igualdade para todos os \lambda significa matriz diagonalizável.

Resposta

Multiplicidade algébrica de \lambda: expoente de (t-\lambda) no polinômio característico p_A(t)=\det(A-tI).
Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim\ker(A-\lambda I), ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a \lambda.
Relação: \text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)\le\text{mult}_{\text{alg}}(\lambda).
Critério de diagonalizabilidade: A é diagonalizável sse, para todo \lambda, \text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)=\text{mult}_{\text{alg}}(\lambda).

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