Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre
.
Qual a diferença entre Multiplicidade Geométrica e Multiplicidade Algébrica?
Qual a diferença entre Multiplicidade Geométrica e Multiplicidade Algébrica?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar a diferença entre multiplicidade geométrica e multiplicidade algébrica num espaço vetorial de dimensão finita
sobre
.
Informações dadas (resumidas, para não me perdermos):
- Temos um espaço vetorial
de dimensão finita (digamos ). - Normalmente vamos trabalhar com um endomorfismo linear
ou com a matriz que representa numa base. - A pergunta é conceitual: “qual a diferença entre multiplicidade geométrica e multiplicidade algébrica?” — ou seja, como cada uma é definida, como se calcula e qual a relação entre elas.
Passo 2
Definição de autovalor e autovetor (para lembrar a base do assunto)
- Dizemos que
é um autovalor de (ou de ) se existe vetor não nulo tal que
- Esse vetor
chama-se autovetor associado a . - O conjunto de todos os autovetores associados a
, junto com o vetor zero, forma o espaço próprio (ou autoespaço, eigenspace)
Explicação didática: o espaço próprio é simplesmente o conjunto de vetores que são “esticados” por
pelo fator
. Para achar
na prática, resolvemos o sistema linear
e encontramos a dimensão dessa solução.
Passo 3
Definição de multiplicidade algébrica
- A multiplicidade algébrica de um autovalor
é a multiplicidade de como raiz do polinômio característico. - O polinômio característico é
- Se
fatorar (em ) como
onde
, então dizemos que a multiplicidade algébrica de
é
.
Como calcular na prova: calcular , fatorar (ou contar multiplicidades), e ler o expoente de
.
Como calcular na prova: calcular
Exemplo curto: para
temos
. A multiplicidade algébrica de
é
.
Passo 4
Definição de multiplicidade geométrica
- A multiplicidade geométrica de
é a dimensão do espaço próprio :
Como calcular na prova: montar a matriz
, reduzir por linhas (eliminação de Gauss) e contar o número de variáveis livres — ou usar a fórmula rank-nullity
Exemplo curto: para
temos
, então
e a multiplicidade geométrica de
é
.
Passo 5
Relação entre as duas multiplicidades (enunciado principal)
- Sempre vale
Explicação intuitiva e “amigável”: pense em blocos de Jordan (ou em termos de generalização): cada bloco de Jordan associado a
fornece exatamente um autovetor (um gerador de espaço próprio), mas pode ter tamanho maior que
. A multiplicidade algébrica é a soma dos tamanhos desses blocos; a multiplicidade geométrica é o número de blocos. Como o número de blocos é menor ou igual à soma de seus tamanhos, obtemos a desigualdade.
Breve esboço do porquê (para a prova): se você trabalhar sobre
(campo algébriacamente fechado), toda matriz é similar a uma forma de Jordan. Para um autovalor
, suponha que haja
blocos de Jordan cujos tamanhos somam
. Então
é a multiplicidade algébrica e
é a multiplicidade geométrica. Cada bloco dá um único autovetor independente, logo
.
Passo 6
Exemplos que ilustram a diferença (com cálculos passo a passo)
Exemplo 1 — caso igual (diagonalizável):
Exemplo 1 — caso igual (diagonalizável):
-
. - Calcule
. Logo . - Calcule
. Então e . - Aqui
. Isso é típico quando a matriz é diagonalizável.
Exemplo 2 — caso estrito (não diagonalizável, bloco de Jordan):
-
. -
. Então . - Calcule
. - Resolver
. Se , a equação dá e livre. Logo e . - Assim
e . Aqui a desigualdade é estrita.]
Passo 7
Consequências práticas e dica de prova/exame (passo-a-passo para aplicar numa questão)
- Passo A: calcule o polinômio característico
e fatorize (em ou ). Para cada raiz leia a multiplicidade algébrica como o expoente de . - Passo B: para cada autovalor
, calcule a matriz , reduza por linhas e encontre . Esse número é a multiplicidade geométrica. - Critério de diagonalizabilidade:
é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor
ou equivalente: a soma das multiplicidades geométricas (sobre todos os autovalores) é
.
- Dica prática: calcular
e usar costuma ser mais rápido que achar explicitamente uma base do núcleo.
Passo 8
Resumo conceitual (para ficar na cabeça)
- Multiplicidade algébrica: “quantas vezes
aparece no polinômio característico” — é um número obtido fatorando . - Multiplicidade geométrica: “quantos autovetores independentes
tem” — é a dimensão do espaço próprio . - Sempre:
. Igualdade para todos os significa matriz diagonalizável.
Resposta
Multiplicidade algébrica de
: expoente de
no polinômio característico
.
Multiplicidade geométrica de :
, ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a
.
Relação: .
Critério de diagonalizabilidade: é diagonalizável sse, para todo
,
.
Multiplicidade geométrica de
Relação:
Critério de diagonalizabilidade: