Seja V um espaço vetorial sobre R. Mostre que Para todo lambda in R, tem-se lambda cdot 0=0, onde 0 é o vetor nulo de V;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais . A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer número real , o produto desse número pelo vetor nulo resulta novamente no vetor nulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos espaços vetoriais, especialmente aquelas envolvendo o vetor nulo e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor nulo. Em um espaço vetorial, o vetor nulo é aquele que, quando somado a qualquer vetor de , não altera . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a propriedade da multiplicação por escalar. Uma das propriedades dos espaços vetoriais diz que para qualquer escalar lambda cdot v + mu cdot v = (lambda + mu) cdot v e vetor , temos:
onde é outro escalar.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade com lambda cdot 0 + 0 cdot 0 = (lambda + 0) cdot 0 (o vetor nulo) e lambda cdot 0 + 0 = lambda cdot 0 . Assim, temos:
Simplificando, fica:
Isso implica que , o que confirma que não muda nada, ou seja, é igual ao vetor nulo.

Passo 5

Outra abordagem é usar a propriedade que diz:
lambda cdot 0 = lambda cdot (0 + 0) = lambda cdot 0 + lambda cdot 0
Subtraindo 0 = lambda cdot 0 de ambos os lados, temos:
Isso mostra diretamente que é o vetor nulo.

Resposta

Portanto, para todo , temos .

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