Seja
um espaço vetorial sobre
. Mostre que Para todo
, tem-se
, onde 0 é o vetor nulo de
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre os números reais
. A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer número real
, o produto desse número pelo vetor nulo
resulta novamente no vetor nulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos espaços vetoriais, especialmente aquelas envolvendo o vetor nulo e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor nulo. Em um espaço vetorial, o vetor nulo
é aquele que, quando somado a qualquer vetor
de
, não altera
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a propriedade da multiplicação por escalar. Uma das propriedades dos espaços vetoriais diz que para qualquer escalar
e vetor
, temos:
onde
é outro escalar.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade com
(o vetor nulo) e
. Assim, temos:
Simplificando, fica:
Isso implica que
, o que confirma que
não muda nada, ou seja, é igual ao vetor nulo.
Passo 5
Outra abordagem é usar a propriedade que diz:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso mostra diretamente que
é o vetor nulo.
Resposta
Portanto, para todo
, temos
.