Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=[(1,1,0,0),(1,1,1,1)].
Determinar \operatorname{proj}_{W} v, onde v=(2,2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(2,2,1,1) no subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado por \,a_1=(1,1,0,0) e \,a_2=(1,1,1,1). Para isso vamos usar as equações normais: buscamos
p=\alpha\,a_1+\beta\,a_2
tal que (v-p) seja ortogonal a a_1 e a a_2.

Passo 2

Primeiro calculamos os produtos internos entre os geradores de W:
a_1\cdot a_1 = 1^2+1^2+0^2+0^2 = 2, \quad a_1\cdot a_2 = 1\cdot1+1\cdot1+0\cdot1+0\cdot1 = 2, \quad a_2\cdot a_2 = 1^2+1^2+1^2+1^2 = 4.

Passo 3

Em seguida calculamos os produtos internos de v com a_1 e a_2 e montamos as equações normais:
v\cdot a_1 = 2\cdot1+2\cdot1+1\cdot0+1\cdot0 = 4, \quad v\cdot a_2 = 2\cdot1+2\cdot1+1\cdot1+1\cdot1 = 6.
As equações normais são
2\alpha + 2\beta = 4, \quad 2\alpha + 4\beta = 6.

Passo 4

Resolvendo o sistema
2\alpha + 2\beta = 4, \quad 2\alpha + 4\beta = 6
subtraímos a primeira da segunda e obtemos 2\beta=2\Rightarrow\beta=1.
Substituindo em 2\alpha+2\beta=4 2\alpha+2=4\Rightarrow\alpha=1.

Passo 5

Logo a projeção é
p = 1\cdot a_1 + 1\cdot a_2 = (1,1,0,0)+(1,1,1,1) = (2,2,1,1).
Note que p=v, ou seja, v já está em W.

Resposta

\operatorname{proj}_{W}v = (2,2,1,1)

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