Seja V=R^n times n, n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(lla & b c & d) in V: a d-b c neq 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto a & b c & d , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. A gente precisa verificar se o subconjunto é um subespaço de . Vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar algumas propriedades para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que satisfaz três condições:
  1. Conjunto não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer elemento do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Conjunto não vazio: Precisamos verificar se existe pelo menos uma matriz em 1 & 0 0 & 1 . Considere a matriz identidade . O determinante de é , que é diferente de zero. Então, pertence a , o que significa que não está vazio.

Passo 4

2. Fechado sob adição: Agora, vamos ver se a soma de duas matrizes em a & b c & d também está em e & f g & h . Seja a+e & b+f c+g & d+h e pertencentes a , isso significa que e .
A soma . O determinante de é .
Não é garantido que . Podemos encontrar exemplos onde essa expressão iguala a zero, mesmo que e . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que a & b c & d já não seja um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar essa propriedade. Se pegarmos uma matriz ka & kb kc & kd em e um escalar , a matriz .
O determinante de é . Se , o determinante será zero, o que não satisfaz a condição . Portanto, multiplicar por zero sai de , mostrando que não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de , porque não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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