Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todas as matrizes
com números reais. A gente precisa verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar algumas propriedades para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que satisfaz três condições:
- Conjunto não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer elemento do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Conjunto não vazio: Precisamos verificar se existe pelo menos uma matriz em
. Considere a matriz identidade
. O determinante de
é
, que é diferente de zero. Então,
pertence a
, o que significa que
não está vazio.
Passo 4
2. Fechado sob adição: Agora, vamos ver se a soma de duas matrizes em
também está em
. Seja
e
pertencentes a
, isso significa que
e
.
A soma
. O determinante de
é
.
Não é garantido que
. Podemos encontrar exemplos onde essa expressão iguala a zero, mesmo que
e
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que
já não seja um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar essa propriedade. Se pegarmos uma matriz
em
e um escalar
, a matriz
.
O determinante de
é
. Se
, o determinante será zero, o que não satisfaz a condição
. Portanto, multiplicar por zero sai de
, mostrando que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
, porque não satisfaz as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.