Seja X a variável aleatória que indica a carga de ruptura de barras de aço obtidas em certo processo de fabricação e suponha que X sim N(100 ; 16). Caso a barra apresente carga de ruptura X >= 95, a mesma dá um lucro de R ao fabricante. Porém, se ao fabricante Porém, se a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a .
c) Determine a esperança, a variância e o desvio padrão da v.a. 10,00.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a esperança, a variância e o desvio padrão da variável aleatória . A situação é a seguinte: temos uma barra de aço com carga de ruptura que segue uma distribuição normal . Dependendo do valor de , o lucro é diferente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, distribuição normal e propriedades de esperança e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como Y = 25, & se X >= 95 10, & se X < 95 depende de 25,00 Caso contrário, é de R. A definição é:
Ou seja, se a carga de ruptura for maior ou igual a 95, o lucro é de R$25,00. Caso contrário, é de R$10,00.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as probabilidades de cada caso acontecer. Como Z = 95 - 1004 = -1,25 segue uma distribuição normal , podemos padronizar para encontrar essas probabilidades.
A média e o desvio padrão . Vamos calcular o valor de correspondente a :
Queremos encontrar .

Passo 4

Utilizando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que P(Z <= 1,25) approx 0,8944 devido à simetria da curva normal.
P(X >= 95) approx 0,8944
Portanto,
P(X < 95) = 1 - P(X >= 95) approx 1 - 0,8944 = 0,1056
E,

Passo 5

Agora, vamos calcular a esperança E(Y) = 25 times P(X >= 95) + 10 times P(X < 95) E(Y) = 25 times 0,8944 + 10 times 0,1056 E(Y) = 22,36 + 1,056 E(Y) approx 23,416 . A esperança é a média ponderada dos possíveis valores de multiplicados pelas respectivas probabilidades.

Passo 6

Em seguida, vamos calcular E(Y^2) = 25^2 times P(X >= 95) + 10^2 times P(X < 95) E(Y^2) = 625 times 0,8944 + 100 times 0,1056 E(Y^2) = 559 + 10,56 E(Y^2) approx 569,56 , que é a média ponderada dos quadrados dos valores de .

Passo 7

Agora, podemos encontrar a variância Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 Var(Y) = 569,56 - (23,416)^2 Var(Y) = 569,56 - 547,15 Var(Y) approx 22,41 usando a fórmula:

Passo 8

Por fim, o desvio padrão sigmaY = raizVar(Y) sigmaY = raiz22,41 sigmaY approx 4,73 é a raiz quadrada da variância:

Resposta

A esperança de é aproximadamente , a variância é e o desvio padrão é .

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