Seja X uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine as seguintes probabilidades: P(6

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e desvio-padrão . O que a gente precisa descobrir é a probabilidade de estar entre 6 e 14, ou seja, . Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal e a tabela Z, que nos ajuda a encontrar probabilidades específicas nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição Normal. Ela é aquela famosa curva em formato de sino, onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e as chances de valores muito distantes da média diminuem conforme nos afastamos. O desvio-padrão nos diz o quão espalhados os dados estão em relação à média.

Passo 3

Para encontrar Z = X - musigma , precisamos padronizar esses valores para a escala Z, que tem média 0 e desvio-padrão 1. A fórmula para converter um valor para é:
Vamos aplicar isso para os dois extremos, 6 e 14.

Passo 4

Calculando Z1 = 6 - 102 = -42 = -2 para Z2 = 14 - 102 = 42 = 2 :
E para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de estar entre -2 e 2, ou seja, . Para isso, consultamos a tabela Z, que nos dá a probabilidade acumulada até um certo valor de .

Passo 6

De acordo com a tabela Z:
P(Z < 2) approx 0,9772
P(Z < -2) approx 0,0228

Passo 7

A probabilidade de P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = 0,9772 - 0,0228 = 0,9544 estar entre -2 e 2 é a diferença entre essas duas probabilidades:

Resposta

A probabilidade de estar entre 6 e 14 é aproximadamente ou 95,44%.

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