Seja \vec{A}(x, y)=2 x y-i x^{2} y^{3}. Calcule:
Laplaciano de \vec{A}

Passo 1

O enunciado nos dá a função escalar complexa A(x,y)=2xy - i\,x^{2}y^{3} e pede o Laplaciano, que para uma função de duas variáveis é definido por
\nabla^2 A \;=\;\frac{\partial^2 A}{\partial x^2} \;+\;\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}.
Vamos, portanto, calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x e em y.

Passo 2

Cálculo das derivadas em x:
\frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy - i\,x^{2}y^{3}\bigr) = 2y \;-\; i\cdot 2x\,y^{3} = 2y - 2i\,x\,y^{3}.
Derivando novamente em x:
\frac{\partial^2 A}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y - 2i\,x\,y^{3}\bigr) = -2i\,y^{3}.

Passo 3

Cálculo das derivadas em y:
\frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy - i\,x^{2}y^{3}\bigr) = 2x \;-\; i\cdot 3x^{2}\,y^{2} = 2x - 3i\,x^{2}y^{2}.
Derivando novamente em y:
\frac{\partial^2 A}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x - 3i\,x^{2}y^{2}\bigr) = -6i\,x^{2}y.

Passo 4

Somando as segundas derivadas para obter o Laplaciano:
\nabla^2 A = \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} = -2i\,y^{3} \;+\; (-6i\,x^{2}y) = -2i\,y\,(y^{2} + 3x^{2}).

Resposta

\nabla^2 A(x,y) = -2i\,y\,\bigl(y^{2} + 3x^{2}\bigr).

Exercícios relacionados