Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
(b) Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço gerado pelos vetores . Isso está na matéria de álgebra linear, mais especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais desses vetores são linearmente independentes, ou seja, aqueles que realmente contribuem para formar a base sem repetir informações.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise. Vamos colocar cada vetor como uma linha da matriz:
Passo 3
Nosso próximo passo é reduzir a matriz a uma forma mais simples, conhecida como forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais linhas (ou vetores) são independentes. Vamos fazer operações de linha:
Agora, observamos que a última linha é toda zerada, o que indica que o quarto vetor é uma combinação linear dos outros. Portanto, podemos descartar esse vetor. As outras linhas têm pivot (um 1 ou -1 que marca a posição líder), então os vetores correspondentes são linearmente independentes.
Passo 5
Assim, os vetores que formam a base são aqueles que correspondem às linhas não nulas da matriz reduzida. Portanto, a base para , (1,,2,,1,,0),; (2,,3,,1,,0),; (0,,0,,1,,0) , é formada por: