Seja W o subespaço gerado pelos vetores de alpha=(1,2,1,0),(2,3,1,0),(0,0,1,0),(1,1,2,0).
(b) Determine uma base para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço gerado pelos vetores . Isso está na matéria de álgebra linear, mais especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais desses vetores são linearmente independentes, ou seja, aqueles que realmente contribuem para formar a base sem repetir informações.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise. Vamos colocar cada vetor como uma linha da matriz:
1 & 2 & 1 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 0

Passo 3

Nosso próximo passo é reduzir a matriz a uma forma mais simples, conhecida como forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais linhas (ou vetores) são independentes. Vamos fazer operações de linha:
  1. Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1:
1 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 0
  1. Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
1 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & 0
  1. Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
1 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0
  1. Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 3:
1 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Agora, observamos que a última linha é toda zerada, o que indica que o quarto vetor é uma combinação linear dos outros. Portanto, podemos descartar esse vetor. As outras linhas têm pivot (um 1 ou -1 que marca a posição líder), então os vetores correspondentes são linearmente independentes.

Passo 5

Assim, os vetores que formam a base são aqueles que correspondem às linhas não nulas da matriz reduzida. Portanto, a base para , (1,,2,,1,,0),; (2,,3,,1,,0),; (0,,0,,1,,0) , é formada por:

Resposta

Uma base para é .

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